— 790 — 



corrispondenti dei secondi membri hanno lo stesso grado di multiplicità. 

 E, viceversa, due equazioni qualunque del tipo (12) sono sempre trasforma- 

 bili una nell'altra con sostituzioni della forma (14) purché, se il secondo 

 membro della prima ha una radice multipla, la radice corrispondente del se- 

 condo membro della seconda ha lo stesso ordine di multiplicità, e, se 

 questi secondi membri hanno radici distinte, i due gruppi delle quattro 

 radici corrispondenti hanno lo stesso rapporto anarmonico. 



6. Un sistema isotermo sulla sfera, come nel piano, è un sistema di 

 linee confocali. Se il sistema isotermo si ottiene ponendo e~ uM f =f(a -f- 

 i fochi del sistema isotermo si ottengono ponendo f\a -f- ifì) = 0. Nel nostro 

 problema abbiamo da distinguere due soli casi. 



I. L'equazione X = 0 ha due coppie di radici eguali, corrispondenti 

 a due punti opposti della sfera. Con una trasformazione della forma (14) 

 possiamo portare questi due punti nei punti 0 ed oo della sfera. Allora la 

 prima delle (12) assume la forma f' = f e si ha, corrispondentemente, 

 f = e a+i $ . Il sistema isotermo determinato così sulla sfera di raggio uno, è 

 quello costituito dai paralleli e dai meridiani ; ed il sistema triplo è quello 

 che dà luogo alle coordinate polari. I risultati relativi sono molto noti. 



II. L'equazione X = 0 ha quattro radici distinte, le quali corrispon- 

 dono a due coppie di punti opposti della sfera e situati, quindi, in uno 

 stesso meridiano. Con una sostituzione della solita forma (14) possiamo por- 

 tare questi punti nei punti oo , 0 , r , — - con t reale, e, allora, alla prima 

 delle (12), si potrà sostituire l'equazione 



dove p è la funzione ellittica fondamentale di Weierstrass, e bisogna pren- 

 dere, corrispondentemente : 



Da questa equazione ricaviamo subito 



(15) 



f = P( tt + — e 



(16) 



Dalla (15) discende subito 



p'(cc-\-ip)p'{a - ?/?) 



