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T. Biodén 



Mittel 7A\v Verfügung hat. Es entsteht somit — um bei diesem Beispiel stehen zu 

 bleiben — die Frage: welche reelle Zahlen lassen sich endlich definieren? Und da 

 die Menge E aller solchen Zahlen abzählbar sein muss, lässt sich die Frage zur 

 folgenden Aufgabe reduzieren: man bestimme eine einfache Zahlenreihe R, welche 

 alle in E eingehenden Zahlen und nur solche als Glieder enthalt. Nun ergiebt sich 

 aber leicht, dass wenn man diese Aufgabe als gelöst voraussetzt, dies zu einem 

 Widerspruch führt: durch ein geeignetes »Diagonal verfahren» kann man eine Zahl 

 Z bilden, welche zu E gehört aber in R nicht eingeht (die bekannte RicAKo'sche 

 Form der Antinomie). Die einzige mögliche Lösung dieses Widerspruchs liegt darin, 

 dass obgleich E abzählbar ist, die Abzählung (die Bildung von R) nicht mit end- 

 licher Mitteln erreichbar ist; dies und nur dies hat nämlich zur Folge, dass auch 

 die Definition von Z nicht als endlich anzusehen ist, und somit die Zahl Z nicht 

 zu E gehört, wodurch der Widerspruch verschwindet. Hier haben wir also schon 

 ein Beispiel der verlangten Art: es ist gezeigt worden, dass die Aufgabe, II zu 

 bilden, nicht mit endlichen Mitteln lösbar ist. 



Ein anderes, wenn auch verwandtes Beispiel ist das folgende. Man denke 

 sich, dass eine wohlgeordnete Zahlenmenge M von der Mächtigkeit der zweiten 

 CANTOR'schen Zahlenklasse in irgend einer Weise mittels »transfiniter Induktion» 

 definiert worden ist. Das heisst: wenn alle ilf- Elemente, welche einen gewissen 

 Elemente a vorangehen, bestimmt sind, so soll nach gewissen Vorschriften auch a 

 bestimmt werden können; und ausserdem soll das erste Element gegeben sein. Da 

 M nicht abzählbar ist, so gilt es hier wiederum, dass nicht alle Elemente durch 

 endliche Bestimmungen individualiziert werden können. Also muss es, da die 

 Menge wohlgeordnet ist, ein erstes Element / existieren, welches eine solche Tndivi- 

 dualizierung nicht zulässt. Und man kann sich die Aufgabe stellen, dieses erste 

 Element zu finden. Die Lösung dieser Aufgabe mit endlichen Mitteln würde aber 

 damit gleichbedeutend sein, dass man für die in Frage stehende Zahl eine endliche 

 Definition gefunden hätte — gegen die Forderung, dass eine solche nicht möglich 

 sein sollte. Also ein neues Beispiel von einer Frage, welche mit endlichen Mitteln 

 wohl gestellt, aber nicht gelöst werden kann. Und 'n diesem Falle ist die Unmög- 

 lichkeit ja so gut wie unmittelbar evident^. 



Bekanntlich haben mehrere Verfasser (wie Hardy, Hausdorff, Schoenflies) 

 Konstruktionen für Mengen der jetzt betrachteten Art aogegeben. Die hierbei be- 

 nutzten Vorschriften können aber nach dem gesagten nicht ausreichen, um alle 

 Zahlen der konstruierten Menge individuell zu definieren, wenngleich dies vom An- 

 fang an und bis zu einer gewissen Grenze der Fall ist. Beiläufig sei etwa die 

 HAEDY'sche Konstruktion ein wenig näher betrachtet. Der Übergang von einer 



^ Wie die Sache sich gestaltet, wenn man nicht die Bestimmung der Znhl / sondern der bei 

 der Wohlordnnng zu iiir gehörigen Cantor'sclien transfiniten Zahl fordert, könnte ja eine Frage sein. 

 Hierauf näher einzugehen, ist hier nicht nötig. Nur sei bemerkt, dass auch die »transfiniten 

 Zahlen» selbst nicht alle endlich individualizierbar sein können. Aber dies könnte ein Kapitel 

 für sich werden. 



