fst das sogenannte Continnnnipioblem überlianpt; mit endlichen Mittein lösl)ar? 



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Zahl g zur nächstfolgenden geschiet nach einer einfachen Regel, wobei man nur g, 

 nicht aber die vorangehenden zu berücksichtigen hat. Bei der Wohlordnung giebt 

 es aber Limeselemente, welche keine nächstvorangehende haben. Um ein solches 

 Element zu gewinnen, hat man die Menge A aller vorangehenden Elemente zu be- 

 trachten und dies so, dass man die immer abzählbare Menge A auch als abgezählt 

 voraussetzt. Wenn nun ?c die erste uicht-individualizierbare Zahl der wohlgeordneten 

 Menge ist, so kann gesagt werden, dass k ein Limeselement ist, aber nicht mehr. 

 Und die Unmöglichkeit, Je mit endhchen Mitteln zu bestimmen, ist mit der Un- 

 möglichkeit gleichbedeutend, die Gesammtheit der vorangehenden Elemente mit 

 endlichen Mitteln abzuzählen. 



Indessen kann man bei den obigen beiden Beispielen vielleicht einwenden 

 wollen, dass sie von ganz besonderer Art sind, indem schon in der Fragestellung 

 der Begriff endlicher Bestimmbarkeit eingeht. Dies ist ja ganz richtig. Aber das 

 hindert nicht, dass auch andere Fälle, bei denen jenes Verhältnis nicht stattfindet, 

 vorkommen können. Im folgenden werden wir uns mit der Frage beschäftigen, ob 

 man nicht einen solchen Fall in dem bekannten Confiniiumprohlem hat. Es gilt 

 also die Frage: ist es mit endlichen Mitteln möglich zu entscheiden, ob das Linear- 

 continuum (das System der reellen Zahlen) die Mächtigkeit der zweiten Cantor'schen 

 Zahlenklasse hat, oder höhere Mächtigkeit? Diese Mächtigkeitsfrage als solche hat 

 nichts mit »endlicher Bestimmbarkeit» zu thun. Aber man kann dennoch fragen, 

 ob endHche Mittel ausreichen um eine Entscheidung zu Stande zu bringen. 



2. Als Vorbereitung ist es zweckmä,ssig, die oben berührten Begriffe »endliche 

 Mittel», »endliche Bestimmbarkeit» etc. etwas näher ins Auge zu fassen. Dass ein 

 Gedankending durch eine endliche Menge von Bestimmungen definiert ist, hat un- 

 bedingt eine ganz distinkte Bedeutung. Aber natürlich soll man sich dafür hüten, 

 eine wirkliche Endlichkeit mit einer nur scheinbaren zu verwechseln. Ahnliches 

 gilt auch für den Begriff endliche Anzahl von Schlussfolgerungen. Und wenn ir- 

 gend eine Frage nicht durch eine endliche Reihe von Schlüssen entschieden werden 

 kann, so beruht dies darauf — oder kann jedenfalls darauf beruhen — dass die 

 Entscheidung überendliche Definitionen erfordern sollte. 



Indessen haben auch hervorragende Mathematiker geltend machen wollen, dass 

 Begriffe wie endHche Bestimmbarkeit nicht zur Mathematik gehören, sondern mehr 

 philosophischer Natur sein. Eine solche scharfe Trennung von Mathematik und 

 Philosophie finde ich meinetwegen jedenfalls in diesem Falle nicht glücklich. All- 

 gemeine Betrachtungen über das Verhältniss zwischen Logik und Mathematik sollen 

 hier nicht angestellt werden. Nur sei bemerkt: das Continuumproblem darf wohl 

 als ein' mathematisches Problem aufgefasst werden; es ist wohl jedenfalls erlaubt, 

 die Frage zu stellen, ob es in menschlicher Macht steht, dies Problem zu lösen 

 eine Beantwortung dieser Frage durch unmathematische Philosophen ist nicht zu 

 erwarten; und die Sache ist mit dem Begriffe endlicher Bestimmbarkeit untrennbar 

 verbunden. 



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