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T. Biodén 



Andererseits ist es nicht zu verneinen, dass »Mengen» von Bestimmungen, 

 welche in einer Definition eingehen, oder von Schlüssen, in welche eine Beweis- 

 führung zerfällt, in gewissen Hinsichten von anderer Art sind als etwa Punkt- 

 mengen oder Kurvenmengen u. dergl. Dies tritt am deutlichsten zu Tage, wenn 

 man die schriftlichen Symbole betrachtet^ mittels deren Definitionen und Beweise 

 dargestellt werden. Um konkrete Verhältnisse vor den Augen zu haben, sowie auch 

 um an das oben Gesagte anzuknüpfen, können wir ja wieder die reellen Zahlen 

 und ihre Individualizierung betrachten. Um eine Zahl eindeutig zu beschreiben, 

 wendet mau (in Schrift) eine endliche Anzahl von Symbolen (ebenen Figuren) an, 

 welche man so oder so anordnet. Alle denkbaren wesentlich verscliiedenen An- 

 ordnungen bilden eine abzählbare Menge. Aber die Symbolanordnungen als solche 

 sind eins, ihre Bedeutung etwas anderes. Und nicht alle Anordnungen haben über- 

 haupt eine Bedeutung, sowie auch nur ein Teil von ihnen der Definition einer reellen 

 Zahl entsprechen. Dieser Teil ist, als Teilmenge einer abzählbaren Menge, selbst 

 abzählbar. Wenn es sich aber darum handelt, eine Abzählung wirklich vollzuführen, 

 so tritt eben die Bedeutung der Symbolanordnungen dabei und kompliziert die Ver- 

 hältnisse, und dies in so hohem Grade, dass eine Abzählung mit endlichen Mitteln 

 sich als unmöglich herstellt. Hieraus folgt leicht, dass auch die endlich definierbaren 

 Zahlen als solche eine Menge bilden, welche sich in derselben Weise verhält. 



Man soll nicht einwenden, dass eine derartige eigenthümliche Teilmenge einer 

 abzählbaren Menge doch möglicherweise nicht selbst abzählbar sondern von höherer 

 Mächtigkeit sein konnte. Dass jede unendliche Teilmenge einer abzählbaren Menge 

 (1, l)-deutige Korrespondenz mit der ganzen Menge zulassen muss, gilt nämlich 

 ganz unabhängig davon, ob eine solche Korrespondenz durch endliche Mitteln zu 

 Stande gebracht werden kann. Denn die wirkliche Abzählung (Numerierung) der 

 ganzen Menge involviert unmittelbar eine Abzählung einer beliebigen Teilmenge, 

 ohne dass notwendig immer durch endliche Mitteln entschieden werden kann, welche 

 Nummern bei jener Abzählung auch zu Elementen der Teilmenge gehören. Dies 

 kann ja paradox erscheinen. Aber vergebens wird man es versuchen, darin einen 

 logischen Widerspruch zu finden. Nur muss man sich darin finden, den Begriff 

 einer Abzählung durch überendliche, und also dem menschlichen Denkvermögen 

 nicht zugängliche Mittel in den Gedankenkreis aufzunehmen (womit natürhch 

 durchaus nichts darüber gesagt ist, ob es vernünftige Wesen giebt, welche einer 

 derartigen Überendlichkeit fähig sind). 



Selbstverständlich könnte man das Wort »abzählbar» für den Fall reservieren, 

 dass eine endliche Abzählung möglich ist (und an Vorschlägen in dieser Richtung 

 hat es in der Tat nicht gefehlt). Der entgegengesetzte Fall wäre dann mit einem 

 anderen Worte zu bezeichnen. Wer aber hierein etwas anderes als eine reine 

 Wortfrage sieht, also den Begriff einer überendlichen Abzählung ganz ablehnen will, 

 hat hierfür keinen acceptablen Grund und schneidet dadurch — unter anderem — 

 für sich jede Möglichkeit ab, die Frage zu beurteilen, ob das Continuumproblem 

 vom menschlichem Standpunkte aus lösbar ist, oder nicht. 



