Ist das sogenannte Continuumproblem überhaupt mit endlichen Mitteln lösbar? 7 



Man weiss, dass das Continuum nicht abzählbar ist. Und hierfür sind meh- 

 rere Beweise gegeben. Es ist aber hier nützlich oder sogar notwendig, dass wir 

 uns fragen, wie dieser Satz in so zu sagen möglichst reiner Form zu beweisen ist, 

 d. h. in einer Form, welche von jeder Unwesentlichkeit befreit ist und nur die not- 

 wendigsten, möglichst abstrakten Begriffe voraussetzt. Bekanntlich kann man leicht 

 zeigen, dass die Menge T aller Teilmengen einer abzählbaren Menge Ä die Mäch- 

 tigkeit des Continuums besitzt. Die Nicht-Abzählbarkeit des Continuums kann also 

 in der Weise dargethau werden, dass man beweist, dass T nicht abzählbar ist. 

 Dies ist aber nur ein Spezialfall des viel allgemeineren Satzes: die Menge T aller 

 Teilmengen einer beliebigen Menge M hat höhere Mächtigkeit als M. Und dieser Satz 

 lässt sich beweisen, ohne dass man andere Begriffe heranzieht als die aller funda- 

 mantalsten, wie Menge, Element, Teilmenge, einige Elemente, alle Elemente. Be- 

 kanntlich in folgender Weise ^: 



Man nehme an, dass T mit M äquivalent wäre, also dass die ilf-Elemente 

 umkehrbar eindeutig mit den 7'-Elemeuten korrespondieren könnten. Wenn dann 

 a ein beliebiges iüf-Element bedeutet, sei das entsprechende 2-Element — also eine 

 Teilmenge von T mit T(a) bezeichnet. T{a) kann dann a als Element enthalten, 

 oder nicht. Dass beide Fälle wirklich vorkommen, kann — wenn nötig — dadurch 

 erreicht werden, dass man eine endliche Anzahl von Umtauschungen in der M-T- 

 Correspondenz vornimmt. Es bedeute nun S die Gesammtheit derjenigen M-Elemente 

 a, welche nicht in ihren entsprechenden T[a) eingehen. Dann haben wir es so: 

 wenn ein ilf-Element e in T{e) eingeht, so gehört e nicht zu 8\ wenn aber e nicht 

 in T{e) eingeht, so gehört e zu S. Nun ist S selbst Teilmenge von M und korre- 

 spondiert mit einem gewissen Jf-Elemente g\ S = T[g). Nach dem soeben gesagten 

 gilt also folgendes: wenn g m S eingeht, so geht ^ in <S' nicht ein; und wenn g 

 nicht in S eingeht, so geht y in S ein. Dieser Widerspruch zeigt, dass T und M 

 nicht äquivalent sein können. Und dass T nicht von kleinerer Mächtigkeit als M 

 sein kann, ist ohne weiteres einzusehen. Also hat T höhere Mächtigkeit als M, 

 w. z. b. w. 



Diese Beweisführung ist sehr bemerkenswert, da hier durch möglichst einfache 

 und abstrakte Mittel dargelegt wird, dass es überhaupt Mengen giebt, welche nicht 

 abzählbar sind. 



Nun sei wieder M abzählbar — A. Das Continuumproblem ist mit folgender 

 Frage identisch: giebt es irgend eine aus Teilmengen von A bestehende Menge Z, 

 welche einerseits nicht-abzählbar ist, andererseits kleinere Mächtigkeit als T hat. 

 Wenn wir der Kürze wegen eine solche Menge Z als Zivischenmenge bezeichnen, 

 wird also die Frage: giebt es eine Zwischenmenge, oder nicht? — Wenn die Frage 

 zu bejahen ist, liegt natürhch die Möglichkeit vor, dass Zwischenmengen verschie- 

 dener Mächtigkeiten vorhanden sind, unter denen jedenfalls diejenigen von kleinster 

 Mächtigkeit mit der zweiten Cantor'schen Zahlenklasse äquivalent sind. 



' Man sehe etwa F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (Leipzig 1914), p. 56. 



