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T. Brodén 



Unsere Frage, ob das Continuuinproblem mit endlichen Mitteln lösbar sei, 

 zerfällt nun in die folgenden zwei: 



A) Lässt es sich mit endlichen Mitteln zeigen, dass es Zwischenmengen giebt? 



B) Lässt es sich mit endlichen Mitteln nachweisen, dass keine Zwischenmengen 

 existieren? 



Selbstverständlich können nicht beide Fragen zu bejahen sein; aber eventuell 

 beide zu verneinen. 



3. Wenn eine definitive Entscheidung dieser Fragen überhaupt möglich ist, 

 setzt sie ohne Zweifel voraus, dass man die Methodik der Mengenlehre ausführlicher 

 untersucht, als hier in Frage kommen kann. Aber ich will es doch versuchen, 

 die Sache durch Hervorhebung gewisser Hauptpunkte zu beleuchten. 



Die ersten Begriffe der Mengenlehre sind: Menge, Elemente einer Menge, ein 

 Element, mehrere Elemente, alle Elemente, Teilmenge. 



Diese Begriffe enthalten in nuce solche Begriffe wie: die Menge, deren Ele- 

 mente alle Teilmengen einer gegebenen Menge M sind (kurz: die Menge aller Teil- 

 mengen von M). Das ist eine unzweideutig bestimmte Menge, sobald M bestimmt 

 ist. Andererseits ist es nur ein Spezialfall des allgemeineren Begriffes einer aus M 

 »hergeleiteten» Menge. Hinsichtlich einer exakten Definition dieses allgemeineren 

 Begriffes gestatte ich mir auf eine von mir vorher publizierten Arbeit hinzuweisen ^. 



Wenn mehrere Mengen als gegeben vorausgesetzt werden, kommen noch hinzu 

 Begriffe wie: Summe Durchschnitt, Produkt, Belegung, Potenz. Aber alle Begriffe, 

 welche ohne Benutzung des Begriffes Korrespondens erreicht werden können, bilden 

 eine scharf abgegrenzte Klasse. Man könnte dieselbe als die Begriffe erster Stufe 

 bezeichnen; und wir werden gegenwärtig diesen Namen benutzen. 



Mit den Begriffen Äquivalenz und Mächtigkeit kommt etwas wesentlich neues 

 hinzu — was jedoch nicht so zu verstehen ist, dass ein ganz neuer Grundbegriff 

 (= undefinierbarer Begriff') eingeführt wird. Zwei Mengen M und N sind äquivalent 

 (haben dieselbe Mächtigkeit), wenn es irgend eine dritte Menge P giebt, deren Ele- 

 mente aus einem Jf-Elemente und einem iV-Elemente bestehen, und dies so, dass 

 jedes Element aus M bez. N in einem aber nur einem P-Elemente eingeht. Zu- 

 sammenhörende Elemente von M und N heissen auch »mit einander korrespon- 

 dierend» oder »einander entsprechend». Wie man mit Ausgangspunkt von dem 

 Aquivalenzbegriffe zum Begriffe von grösserer oder kleinerer Mächtigkeit kommt, 

 ist ja sehr bekannt und soll hier nicht entwickelt werden; auch nicht, wie die Be- 

 griffe endlich und unendlich mit dem Mächtigkeitsbegriffe zusammenhängen (obgleich 

 hierüber gewisse Bemerkungen nicht ganz unnützlich sein könnten). Die Haupt- 

 sache ist: der Mächtigkeitsbegriff gründet sich auf der Möglichkeit (bez. Unmöglich- 

 keit) eiu-ein-deutiger Beziehungen. Wenn man nun bei dieser nackten Möglich- 



' Über reducible und irreducible Mengen, Nyt Tidsskrift for Mathematik (Kopenhagen) 

 Jahrg. 27, p. 28. 



