Ist das sogenannte Continnumpioblem überhaupt mit endliclicn Mitteln lösbar? 9 



keiteii stehen bleibt', so können die zugänglichen Begriffe, welche über die erste 

 Stufe hinausgehen, als reine MächiigJceitsbegriffe bezeichnet werden. Hier haben wir 

 wieder ein scharf abgegrenztes Gebiet: die erste Stufe jüus reine Mächtigkeitsbegriffe 

 (welche natürlich auch Begriffe erster Stufe in sich enthalten können und sogar 

 müssen). Alle Begriffe aber, welche zu diesem Gebiete nicht gehören, können 

 ordniingsge färbte Begriffe (oder kurz: Ordnungsbegriffe) genannt werden, da sie auf 

 irgend einem Punkte eine näher bestimmte Korrespondenz, also kurz eine Anord- 

 nung enthalten müssen ^. 



Hieran schliesst sich der Begriff: Individualisierung der Elemente einer Menge. 

 Dieselbe — d. h. die Art der Definition der einzelnen Elemente — kann in meh- 

 reren Hinsichten auf verschiedene Weisen eingerichtet sein. Aber immer muss irgend 

 eine Anordnung vorausgesetzt werden. 



Mit der ludividualizierung hängt nahe das zusammen, was man explicite Dar- 

 stellung einer Correspondent: nennen kann. Eine im eigentlichsten Sinne explicite 

 Konstruktion einer (1, l)-deutigen Korrespondenz zwischen zwei äquivalenten Mengen 

 setzt als notwendige Bedingung voraus, dass die Elemente beider Mengen indivi- 

 dualisierbar sind — also, weim nur endliche Mittel in Fiage kommen, dass beide 

 Mengen abzählbar sind (s. oben). Man kann aber auch von einer halbexpliciten 

 oder bedingt expliciten Darstellung sprechen, nämlich im folgenden Sinne: unter der 

 Voraussetzung, dass ein Element der Menge definiert (individualiziert) ist, lässt 

 sich der Übergang zum entsprechenden Elemente in ausführen. Beispiel hier- 

 von: der erste Cantor'sche Beweis für die Äquivalenz eines geraden Linienstücks 

 und eines Quadraten. Hier wird vorausgesetzt, dass ein Element des linearen Sy- 

 stems durch einen bestimmten Kettenbruch definiert ist, und dann wird gezeigt, wie 

 mau durch endliche Mittel ein bestimmtes Paar von Kettenbrücheu und damit einen 

 bestimmten Punkt des Quadraten erhalten kann, und umgekehrt. Die Korrespon- 

 denz iväre also vollständig explicit, falls man Möglichkeit hätte, alle Kettenbrüche, 

 d. h. alle reelle Zahlen zu individualizieren, was ja aber nicht mit endlichen Mit- 

 teln erreichbar ist. 



4. Es sei nun angenommen, dass irgend eine reine Mächtigiceitsfrage vorgelegt 

 sei, d. h. eine Frage über Mächtigkeiten, welche als solche nicht über das Gebiet der 

 reinen Mächtigkeitsbegriffe hinausgeht (also keine Ordnungsbegriffe voraussetzt). Es 

 ist dann nicht ausgeschlossen, dass eine Entscheidung ohne Heranziehung von Ord- 

 nungsbegriffen erreicht werden kann. Ein Beispiel hiervon hefert der oben an- 

 geführte Beweis des Satzes, dass die Menge aller Teilmengen einer beliebigen Menge 

 M höhere Mächtigkeit als M hat. Ein anderes Beispiel giebt der Satz, dass wenn 

 M mit einer ihrer Teilmengen N äquivalent ist, eine andere Teilmenge R, welche 

 ihrerseits N als Teilmenge enthält, ebenfalls mit M äquivalent ist (worauf ja der 



1 Und hierzu gehört auch die nackte Möglichkeit irgend einer Art von mehrdeutiger Korre- 

 spondenzen, da dieselben sich immer auf eindeutige zurückführen lassen. 



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