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T. Èrodén 



sogenannte »Hauptsatz» sich zurückführen lässt). Man betrachte den bekannten 

 BEitNSTEiN'schen Beweis dieses' Satzes oder noch lieber die von Zermelo gegebene 

 Modifikation dieses Beweises. 



Aber die Möglichkeiten sind hierbei offenbar sehr beschränkt Ohne Anwen- 

 dung von Ordnungsbegriffen kommt man überhaupt nicht weit, auch bei Fragen, 

 welche als solche keine Ordnungsbegriffe voraussetzen. Dies beruht darauf, dass 

 die blosse MöglichJceit (bez. Unmöglichkeit) einer (1, l)-deutigen Beziehung als Aus- 

 gangspunkt für Schlussfolgerungen zu wenig ergiebig ist. Es kann lehrreich sein, 

 den folgenden ebenso einfachen wie fundamentalen Fall ins Auge zu fassen. Ist 

 die Summe zweier abzählbarer (und teilerfremder) Mengen Ä und B abzählbar, oder 

 nicht? Bekanntlich ist sie abzählbar. Man versuche es aber, dies ohne Einführung 

 irgend einer Anordnung zu beweisen. Es wird kaum gelingen. (Freihch kaim man 

 einen Beweis folgendermassen formulieren : es seien C und D zwei unendliche kom- 

 plementäre Teilmengen von B; dann ist, da C und D abzählbar sind, A -\- B mit 

 C -\- D, d. h. mit B äquivalent, w. z. b. w. Aber hier wird die Möghchkeit voraus- 

 gesetzt, B in zwei unendliche Komplementärmengen zu zerlegen, und dass diese 

 Möglichkeit wirklich vorliegt, ist nur eine andere Form des zu beweisenden Satzes.) 



5. Es sei nun ganz allgemein angenommen, dass es sich darum handle, die 

 Äquivalenz zweier Mengen zu beweisen, welche ohne irgend eine Ordnungshegriffe 

 definiert sind. In Bezug auf die mögUche Einrichtung eines solchen Beweises sind 

 in erster Hand folgende zwei Hauptfälle zu unterscheiden. A) Man stellt eine ex- 

 plicite oder hcdbexplicite (1, l)-deutige Korrespondenz dar; B) Man erbringt einen 

 Beweis ohne eine solche Korrespondenz zu konstruieren. Die Möglichkeit der letzt- 

 genannten Art von Beweisen beruht auf gewissen axiomatischen oder unmittelbar 

 in Definitionen liegenden Sätzen, zu denen jedenfalls die folgenden zwei gehören. 

 Erstens: die Summe von mehreren teilerfremden Mengen ist mit der Summe an- 

 derer derartiger Mengen äquivalent, wenn die Mengen der beiden Systeme paarweise 

 äquivalent sind. Und zweitens: wenn es bewiesen werden kann, dass eine Teil- 

 menge T einer Menge M nicht kleinere Mächtigkeit als M haben kann, so folgt, 

 dass T und M äquivalent sind (da die Mächtigkeit von T nicht grösser als die- 

 jenige von M sein kann). Im Falle B) sind nun wiederum zwei verschiedene Mög- 

 lichkeiten zu unterscheiden: B) 1) Man benutzt nur reine Mächtigkeitsbegriffe; 

 B) 2) Man führt Ordnungsbegriffe ein, ohne darauf eine explicite Korrespondenz- 

 darstellung zu gründen (etwa so, dass man allgemeine Sätze benutzt, welche nicht 

 ohne Ordnungsbegriffe bewiesen werden können). In welcher Ausdehnung es gelten 

 kann, dass Ijei Unmöglichkeit eines Beweis der Art B) 1) ein Beweis vom Typus 

 B) 2) möglich ist, ist eine Frage, welche ich für eine andere Gelegenheit erspare. 



Ein Beweis, dass zwei Mengen nicht äquivalent sind, muss immer in indirekter 

 Form darstellbar sein: man nimmt Äquivalenz ein und weist nach, dass dies auf 

 einen Widerspruch führt. Aber auch hier sind zwei verschiedene Hauptformen zu 

 unterscheiden: A) Man zeigt, dass wenn eine (1, l)-deutige Zuordnung vorausgesetzt 



