Ist das sogenannte Continuuniproblem überhaupt mit endlichen Miltein lösbar? 11 



wivfl, ein Element der einen iVlenge individualiziert werden kann, welches mit keinem 

 Elemente der anderen korrespondiert (mid dass somit, zufolge der Annahme, dieses 

 Element zugleich zur erstgenannten Menge gehört und nicht gehört); B) Man bringt 

 ohne eine derartige Individualizierung einen Widersprucli an den Tag. Zu bemer- 

 ken ist hierbei, dass ein hier in Frage kommender Widerspruch ohne Zweifel immer 

 in letzter Hand darauf rednzierbar ist, dass ein gewisser Gegenstand sowohl Element 

 als Nicht-Element in einer gewissen Menge wäre. Auch hier hat man ferner bei 

 B zwei Unterfälle zu trennen: B) 1) Man bleibt bei den reinen Mächtigkeitsbegriffen 

 stehen; B) 2) Man benutzt Ordnungsbegriffe (ohne dabei zu einem Beweise der Art 

 ß zu kommen). 



6. Nach diesen allgemeinen Bemerkungen kehren wir jetzt zum Continuum- 

 problem zurück. Zuerst ist dann zu bemerken, dass es sich hier nicht direkt darum 

 handelt, über die Äquivalenz bez. Nicht-Äquivalenz zweier gegebener Mengen zu 

 entscheiden. Es gilt die Existenz oder Nicht-Existenz einer »Zwischenmenge» Z. 

 Eine Entscheidung erfordert aber, dass man die Menge T mit irgend einer näher 

 bestimmten Teilmenge von T in Bezug auf die Mächtigkeit vergleicht. 



Nun können wir uns zunächst denken, dass man versuchen will, die Frage 

 ohne alle fremdartigen Hilfsmittel zu behandeln. Das heisst, näher präciziert: man 

 bleibe innerhalb des Gebietes, welches ans der gegebenen abzählbaren Menge A \må 

 die daraus »hergeleiteten» (s. oben) bestimmt ist. 



Es ist nicht daran zu denken, ohne Benutzung von Ordnungsbegriffen etwas 

 zu gewinnen. Es reichen die Begriffe erster Stufe und die reinen Mächtigkeits- 

 begriffe nicht aus, um eine Menge Z wirklich zu konstruieren. Freilich kann man 

 mit Anwendung von lauter solchen Begriffen einige Mengendefinitionen bilden, wie 

 die folgenden: die Menge aller Teilmengen eines J"- Elementes E oder aller end- 

 lichen Teilmengen von E; oder die Menge aller T-Elemente F, welche mit einem 

 gegebenen E eine endliche Menge von ^.-Elementen gemeinsam haben; oder die 

 Menge aller Teilmengen von T etc. Aber alle derartigen Mengen sind entweder 

 abzählbar oder haben die Mäclitigkeit von T oder höhere Mächtigkeit. 



Also: es müssen Ordnungsbegriffe benutzt werden. Man kann die Sache ein 

 wenig vereinfachen, indem man T durch die Menge V ersetzt, welche aus allen 

 unendlichen Teilmengen von A besteht, deren Komplementärmengen ebenfalls un- 

 endlich sind, womit natürlich eine entsprechende Modifikation der hypothetischen 

 Menge Z folgt. Bekanntlich ist 7 mit T äquivalent. 



Die zwischen zwei 7-Elementen möglichen Relationen werden durch folgende 

 Aufzählung erschöpft: 1) Zwei Elemente E und F haben immer dieselbe Mächtig- 

 keit, da beide abzählbar unendlich sind; 2) Die Summe E-^-F'k&xm— V sein oder 

 ein endhches oder unendliches Komplement haben ; 3) E und F können teilerfremd 

 sein oder nicht, und im letzteren Falle kann der Durchschnitt endhch oder unend- 

 hch sein (speziell kann die eine Teilmenge der anderen sein). Man dürfte ohne 

 Weiteres einräumen, dass diese Relationen keinen Ausgangspunkt geben für eine 



