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T. Brodén 



Anordnung, welche uns helfen könnte (und ähnliches gilt, wenn man bei T stehen 

 bleibt, anstatt 7 einzuführen). Es ist offenbar notwendig, schon bei Å eine An- 

 ordnung vorauszusetzen. 



Wir denken uns dann zuerst, dass man eine Wohlordnung wälilt. Da A ab- 

 zählbar ist, bedeutet das: wir denken uns A ahge.Bählt. Dies gesetzt, kann man 

 daran denken, eine wohlgeordnete, nicht-abzählbare Teilmenge P von V zu bilden. 



Nun setzen wir pro primo voraus, dass man es versuchen will, einen Beweis 

 dafür zu finden, dass eine »Zwischenmenge» Z nicht existiert (Fall ß p. 8), also 

 einen Beweis für die Richtigkeit der bekannten Cantor'schen Hypothese. Es gilt 

 dann, eine Menge P von der Mächtigkeit Aleph-Eins (= Mächt, d. zweiten Zahlen- 

 klasse) zu konstruieren und nachher zu zeigen, dass P und V äquivalent sind. Wir 

 kommen also auf die oben berührten Versuche zurück, innerhalb einer Menge von 

 der Mächtigkeit des Continuums eine Teilmenge von Mächtigkeit Aleph-Eins durch 

 transfinite Induktion zu definieren. Nach dem oben gesagten muss eine solche 

 Definition immer defekt — nur »halbfertig», wenn man so sagen will — bleiben, 

 so lange man auf endliche Mittel hingewiesen ist. Auch bei der Menge V ist es 

 so, dass nicht alle Elemente mit endlichen Mitteln individualiziert werden können. 

 Aber die Menge als solche haben wir in unzweideutiger Weise definiei't. Nun han- 

 delt sich aber um eine Unbestimmtheit in der Definition der Menge P, welche nur 

 mit Überend liehen Mitteln überwunden werden könnte. Und das endliche Hilfs- 

 mittel hier nicht ausreichen, beruht — kann man sagen — darauf, dass die Defi- 

 nition, der Natur der Sache gemäss, eben auf Individualizierung der Elemente 

 gegründet sein muss. 



Es stellt sich nun die Frage dar, inwieweit es denkbar ist, dass der eine oder 

 andere der oben angegebenen Typen von Aqnivalenzbeweisen im vorliegenden Falle 

 augewandt werden könnte. Dass es unmöglich sein muss, eine (1 , l)-deutige Korre- 

 spondenz zwischen V und P explicit darzustellen, folgt unmittelbar schon aus der 

 Unmöglichkeit, alle Elemente von 7 bez. P individuell zu definieren. Aber auch 

 die »halbexplicite» Korrespondenz ist ausgeschlossen. Man kann voraussetzen, dass 

 die Elemente von 7 sämu}tlich individualiziert wären, und durch irgendwelche Ope- 

 rationen von einem beliebigen 7Elemente zu einem neuen 7- Elemente übergehen; 

 aber eben zufolge der erwähnten Unbestimmtheit von P kann man nicht immer 

 wissen, ob dies neue Element zu P gehört, oder nicht. Und in der entgegensetzten 

 Richtung, von P nach 7, ist jene Unbestimmtheit offenbar ebenso verhängnissvoll. 

 Der Beweistypus A (p. iü) kann somit nicht in Frage kommen. Man bemerke 

 übrigens hier, dass die Voraussetzungen jetzt nicht ganz dieselben sind wie oben 

 bei der Feststellung der verschiedenen 'Typen. Dort wurde nämlich' angenommen, 

 dass die zu vergleichenden Mengen ohne Benutzung von Ordnungsbegriffen definiert 

 waren. Jetzt gilt ja dies nicht für die Menge P. Dieser Unterschied ist jedoch 

 ohne Bedeutung, so lange es sich um Typus A handelt. Aber bei den Typen B) 1) 

 and B) 2) bewirkt die etwas veränderte Lage eine gewisse Modifikation. Jn B) 1) 

 soll es jetzt heissen, dass man keine anderen Anordnungen als die eingeführten 



