Ist das sogenannte Contimminprohlem überhanpt mit ondliclien Mitteln lösl)ar? 13 



Wohlordnuügen benutzt; in B) 2) dagegen, dass man neben den Wohlordnungen 

 auch andere Anordnungen heranzieht. Wir betrachten zuerst die Eventualität B) 1). 

 Ist es möglich einen weder expliciteu noch halbexpliciten Aquivalenzbeweis (man 

 kann ja kurz so sagen) zu führen, bei welchem ausser den ordnungsfreien Begriffen 

 und Sätzen nur die Wohlordnung benutzt wird? Es ist jedenfalls für mich kaum 

 zweifelhaft, dass die mehrerwärmte Unbestimmtheit in der Definition \'on P die 

 Sache unmöglich macht. Natürlich bildet die Unbestimmtheit als solche kein un- 

 bedingtes Hinderniss. Es kann sehr wohl möglich sein, Äquivalenz zwischen zwei 

 Mengen darzulegen, obgleich die eine oder sogar beide unbestimmt sind. Es ist 

 z. B. so in den oben berührten Falle: wenn R Teihnenge von M, und iV Teilmenge 

 von R ist, so lässt es sich zeigen, dass bei Äquivalenz von M und N auch M und 

 R äquivalent sind. Hier ist ja R zwischen gewissen Grenzen unbestimmt, auch 

 wenn man voraussetzt, dass M und N gegebene und bestimmte Mengen sind. Aber 

 solche Vorkomnisse hindern natürlich nicht, dass es Arten von Unbestimmtheiten 

 geben kann, welche mit der Möglichkeit eines Äquivalenzbeweises (oder überhaupt 

 einer Mächtigkeitsbestimmung) unvereinbar sind. 



Wie liegen nun die Verhältnisse in unserem jetzigen Falle? Ohne irgend eine 

 Ordnungsbegriffe konnte nichts erreicht werden. Und so führten wir zunächst 

 Wohlorduung für A und P ein. Es war aber unmöglich, mit endlichen Mitteln 

 ein ganz bestimmtes P zu definieren. Dass andererseits bis zu einer gewissen und 

 übrigens nicht mit endlichen Mitteln nälier bestimmbaren Grenze die Elemente von 

 P individuell definierbar waren, kann ohne Zweifel nicht helfen. Im wesentlichen 

 liegt somit die Sache ganz einfach so: wir haben einerseits die Menge 7, anderer- 

 seit eine Menge P, welche Teilmenge von Y ist, die Mächtigkeit Aleph-Eius hat 

 und wohlgeordnet ist. Dass es aber solche Teilmengen existieren muss, ist ohne 

 weiteres klar, weshalb eine Konstruktion wie z. B. die Hardy'sche von keinem 

 Nutzen sein kann. Es fragt sjch nun, ob es möglich wäre, mit diesem dürftigen 

 Ausgangspunkte und ohne andere Hilfsmittel als die (ordnungsfreien) fundamentalen 

 Mächtigkeitssätze (d. h. axiomatische oder definitionsmässige, vgl. oben) und anderer- 

 seits die inneren Strukturverhältnisse einer wohlgeordneten Menge einen Beweis — 

 sei es in direkter oder indirekter Form — für Äquivalenz zwischen V und P zu 

 Stande zu bringen. So viel ich finden kann, ist es kaum zu kühn, wenn man 

 annimmt, dass dies ausgeschlossen ist. Nämlich aus dem Grunde, dass die Voraus- 

 setzungen nicht hinreichende Ausgangspunkte für eine erfolgreiche Anwendung 

 jener Fundamentalsätze darbieten. Die Möghchkeit, diese Sätze an die Voraus- 

 setzungen eines vorgelegten Problems über Mächtigkeitsverhältnisse anzuknüpfen, 

 beruht immer auf den einen oder dem anderen von folgenden zwei Umständen, 

 oder von beiden. Es kann von wesentlicher Bedeutung sein, dass zu den Voraus- 

 setzungen des zu beweisenden Satzes gewisse Aimahmen gehören über Mächtigkeits- 

 verhältnisse von Mengen, welche im Satze figurieren. Einfaches Beispiel: in dem 

 oben erwähnten Hauptsatze der Mengenlehre wurde Äquivalenz von M und N an- 

 genommen, was die Anwendung des Summensatzes möglich macht. Oder es kann 



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