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T. Brodén 



entscheidende Bedeutung haben, dass man mit Mengen zu thun hat, welche inner- 

 halb eines gewissen Gebietes ganz bestimmt sind. Das ist der Fall bei dem oben 

 angeführten (indirekten) Beweise für die Nicht-Äquivalenz von M und T; die Be- 

 stimmtheit von T (unter den Voraussetzung einer bestimmten Menge M) ist offenbar 

 hier entscheidend, obgleich der Beweis weder von expliciter noch von halb-expliciter 

 Natur ist. In unserem Falle ist ja aber P als Teilmenge von V (vom endlichen 

 Standpunkte aus) unbestimmt; und in erstgenannten Hinsicht geben die jetzigen 

 Voraussetzungen, so viel ich sehe, ganz zu wenig. P ist Teilmenge von Fund hat 

 die Mächtigkeit Aleph Eins; was sollte man daran anknüpfen können? Innerhalb 

 P kann man natürlich zufolge der Wohlordnung vieles entwickeln. Zwischen den 

 beiden Mengen lässt sich aber mit den in Frage stehenden Mitteln schwerlich eine 

 Brücke schlagen, wenn es sich um Gleichheit oder Ungleichheit ihrer Mächtigkeiten 

 handelt. Deshalb wird auch die Wohlordnung von P ohne Bedeutung. Und ganz 

 dasselbe gilt, wenn man die Wohlordnung mit irgend einer anderen Anordnung 

 von V verbindet, sowie auch wenn man von vornlierein die Wohlordnung von P 

 durch irgend eine andere Anordnung ersetzt. Man hat also — meine ich — kaum 

 Aussicht, den (modifizierten) Beweistypus B) 1) und ebenso wenig den (modif.) Typus 

 B) 2) anwenden zu können. 



Wir haben bisher am nächsten einen möglichen Beweis für Äquivalenz 

 zwischen P und V von den Augen gehabt. In Bezug auf Nicht- Äquivalenz lassen 

 sich ganz analoge (und teilweise sogar identische) Betrachtungen anstellen. Ich 

 halte es für überflüssig, dieselben näher auszuführen. 



Unser Resultat sollte also dies sein: eine Lösung des Continuumsproblems 

 wäre mit endhchen Mitteln nicht möglich, wenigstens ohne Heranziehung von 

 »fremdartigen Hilfsmitteln» (s. oben). 



Es fragt sich nun pro secundo, ob irgend eine fremdartige Mittel helfen könn- 

 ten, d. h. ob es möglich wäre, etwas dadurch zu gewinnen, dass man Hilfsmengen 

 zur Anwendung brachte welche ausserhalb des Gebietes -»A und die daraus herge- 

 leiteten Mengen-» fielen. Es ist eine sehr bekannte Erscheinung, dass schwierige 

 raathematische Probleme auf irgend einem »genialen Umwege» gelöst oder durch 

 geeignete Erweiterung des in der Problemstellung vorausgesetzten Gebietes wesent- 

 lich erleichtert worden sind. Und der Gruud dafür, dass eine Erweiterung unter 

 Umständen auch eine Erleichterung mitführt, lässt sich wenigstens in den meisten 

 Fällen unschwer erkennen. Aber in unserem jetzigen Falle handelt es sich nicht 

 um leichter oder schwieriger, sondern um möglich oder unmöglich. Und ganz un- 

 abhängig von der allgemeinen Frage, inwieweit es bei mathematischen Problemen 

 gelten kann, dass eine Gebietserweiterung für eine Lösung nothwendig ist (eine 

 Frage, welche weit über die eigentliche »Mengenlehre» hinaus führt) wage ich die 

 Ansicht auszusprechen, dass beim Continuumproblem auch keine Gebietserweiterung 

 zu einer Lösung führen kann. Es ist eine ganz besondere Sache mit der (für 

 menschliche Intelligenz) unüberwindlichen Unbestimmtheit der Menge P. Dass die- 

 selbe, welche Methode man im tJbrigen versuchen will, eine explicite oder halb- 



