Några variationsformler inom integralekvationernas teori 33 



och alltså' 



/ S<Pi(^) ^i(^) = O, 



I afdelning III bestämde vi emellertid de i utvecklingen af ô(f^ ingående god- 

 tyckliga konstanterna så, att 



O = [^,, i^;) = (9,, 4»,) = . . . 



Häraf framgår, att den nyss bildade serien för h'^. är ^identisk med den i af- 

 delning III bestämda. Denna senares konvergens för tillräckligt små {Ji-värden är 

 alltså bevisad. 



För jämförelses skull må slutligen bifogas en bestämning af % med tillbjälp 

 af ekvationen (88). Jag betraktar det fall, att X = 1 är en ^-faldig rot till ekva- 

 tionen '2))j^y=0, men att j ^'^^^ identiskt försvinner. Af koefficienterna d^Q 

 (t= 1, 2, . . .) i ekvationen (88) försvinna då de q — 1 första, och c^^^ är gifvet af 



1 1 



1 _ 1 r f,^^K--x, 



o o 



För att bilda koefficienten till \l, alltså d^^, kunna vi använda följande af 

 Feedholm gifna formel *) för första variationen af ®^ 



1 1 1 



S®^. = I Bfix- x) dx -jäxj dy ®^(^) 6/ (a;, y). 



o 0 0 



Vi ha blott att ersätta ^f{x, y) med ^h{x, y) och beakta, att ©^.försvinner, 

 för att få termen i (x: 



11 



^do, = — iijdxjdy h{x, y). 



o o 



Ekvationen (88) blir alltså, om vi uppskrifva termerna af lägsta ordning, 

 11 11 



(93) 



11 11 



o o 



Häraf fås v. utvecklad efter potenser af 



I afdelning IV ha vi för den approximativa bestämningen af SX i föreliggande 

 fall funnit ekvationen (63 a). Ordna vi dess termer efter potenser af SX, erhålles 



(94) 0 = ('f^<l;)(-SX)''+ix(rl;/i9j... 



* Acta Mathematica, bd 27, sid. 380. 

 Lunds Univ:s Årsskrift. N. F. Afd. 2. Bd 7. 



5 



