32 



Henrik Block 



Fundaraentalfunktionen ^{x) är alltså utvecklad i en konvergent potensserie. 

 Det vore emellertid förhastat att utan vidare identifiera denna serie med den i det 

 föregående för en fundamentalfunktion härledda utvecklingen och däraf sluta sig 

 till dennas konvergens. Denna utveckhng är nämligen icke entydig, utan inne- 

 håller ett oändligt antal arbiträra konstanter. Det är lätt att bestämma dessa så, 

 att serien divergerar. 



Om vi alltså icke kunna utan alla inskränkningar sluta till konvergensen af 

 den ifrågavarande utvecklingen, så kunna vi dock göra det, om de nämnda god- 

 tyckliga konstanterna på lämpligt sätt bestämts. Låt oss t. ex. återgå till det i 

 afdeluing III betraktade fallet. Där fortgå utvecklingarna af SX. och efter hela 

 poteuser af (a: 



^fi = l'-fii + !^>i2 -1- • • • ' 



Af formen för x framgår,, att utvecklingen af <î> också fortgår efter hela 

 potenser af \i: 



(90) ^x) = a,{x) + a,(x) + • • • , 

 där s är ett helt tal. 



Som tp^. -(- §tp^. är en fundamentalfunktion svarande mot ett enkelt fundamental- 

 värde, har man nödvändigtvis 



(91) 9.+ Scp. = 5<î>(,r), 



där B är oberoende af x. Däremot kan B vara en godtycklig funktion af [i, och 

 häraf beror i själfva verket obestämdheten af koefficienterna i ôcp^. Insätta vi för 

 B ett uttryck af formen 



där serien inom parentesen är konvergent för tillräckligt små [i-värden, så blir 



(V. -\- 8'X). produkten af två potensserier och alltså själf en potensserie, konvergent 



för tillräckhgt små [j,-värden. 



Vi kunna speciellt bestämma B så, att 



1 



B f <^{x) (l>.(cc) dx=l, 

 o 



hvilket ger 



(92) B = -1— _— = — ^ {h, + jx + + . . .), 



och om («Q (jj^.) 4= O, är den så erhållna potensserien för B konvergent, då [i. är till- 

 räckligt litet. 



Den mot denna bestämning af B svarande serien för f. -(- Sx. har alltså ett 

 konvergensområde. Den är karaktäriserad däraf att 



