Några variationsformler inom integralekvationernas teori 



31 



Samma satser gälla äfven om de öfriga kvantiteterna (78). 



Satserna äro äfven giltiga, om vi ersätta parametern p med Xp.. Kvantiteterna 



(85) %/+x,x/,,, ^if+i^.h(^y 



hvilka höra till ekvationen 



(86) ^{x) + X / [f{œ, y) + ^h{x, y)] ^{y) dy = xi^l 



o 



kunna alltså utvecklas i ständigt konvergenta potensserier af X och eller af X — X^ 

 och — [i-o- 



Antag nu, att till kärnan f{x, y) hör fundamentalvärdet X = Xq. Hur varierar 

 detta fundamentalvärde, då funktionen f{x, y) erhåller tillskottet ^.h{x, y)? 



För att finna svaret härpå bilda vi den nya ekvationens determinant ®xy_j_ x,j.7t. 

 Som vi nyss sett, kan den utvecklas i en konvergent poteosserie af x = X — X^ och (x. 



Den konstanta termen d^^^ bortfaller, ty för [x = O skall X^ vara ett fundamen- 

 talvärde, hvaraf ^5 = 0 för % = [x = 0. För att nu finna fundamentalvärdena till 

 den varierade kärnan, ha vi att sätta 



(88) O = (ijo -f [X + d^^ v? + (^11 x[x + jx^ + 



Ur denna likhet erhålla vi enligt satsen om implicita funktioner x utvecklad 

 efter potenser af [x. Ar d^^ \ O, så fortskrider denna serie efter hela potenser af 

 a och vi få endast ett värde på x, som försvinner samtidigt med [x; är däremot 

 d^^ = O, få vi flera värden på x, Serien fortskrider då i allmänhet efter brutna 

 potenser af [x. Om emellertid ett visst antal af de öfriga koefficienterna d äro lika 

 med noll, kunna utvecklingarna äfven i detta fall fortgå efter hela potenser. 



Dessa serier konvergera för tillräckligt små [x-värdeu enligt den allmänna 

 teorin för implicita funktioner. 



Den så bestämda kvantiteten x är just lika med fundamentalvärdets variation, 

 som ofvan betecknats med SX. Vi kunna däraf draga den slutsatsen, att de ut- 

 vecklingar af SX efter potenser af [j., som i det föregående bildats med tillhjälp af 

 obestämda koefficient-metoden, äro konvergenta för tillräckligt små [x-värden. 



För att erhålla motsvarande fundamentalfunktion har man att bilda kvantiteten 



(89) ®X/+X,xÄ (^) = ^00 (^) + ^^10 (^) + Mo, (^) + • • • 



och däri insätta den nyss funna utvecklingen af x efter potenser af [x. Resultatet 

 kan ordnas efter potenser af jx, och den så erhållna serien är konvergent för till- 

 räckligt små [X- värden. Om såsom vi nu antaga, Xg-fx icke är en multipelrot till 

 den varierade ekvationens determinant, så försvinner icke detta uttryck identiskt, 

 och vi kunna genom att däri ge y ett konstant värde tj erhålla en fundamcntal- 

 funktion 4>(x) till den varierade ekvationen. 



