30 , Henrik Block 



den i'te raden med 



Låta vi i genomlöpa talen 1, 2, ... w, få vi n stycken determinanter af n:te 

 ordningen; deras summa är tydligen lika med koeffieienten till X«-^ p i utveck- 

 lingen af (80). Hvarje dylik determinant är enligt Hadamards sats mindre än 



71 



i absolut belopp. Deras summa är alltså till sitt absoluta värde mindre än 



'II. 



n Jf " n^. 



Vi ha att integrera n gånger mellan O och 1 för att få Un-n, som befinnes 

 satisfiera olikheten 



n 



I ^n-u I <. nW^n^. 



För att få koefficienten till X"~^p^ i utvecklingen af (80), ha vi på samma 

 sätt att ersätta i-iQ och j-ïe raderna i (81) med 



h{x., x^, h{x., x^), ... xj. 



h(xp iCj^), ^i{Xj, x^), . ■ ■ h[Xj, x^ 



respektive, samt summera öfver alla i, j, där hvarje kombination af två tal tages 



en gång. Vi få en summa af — ^r-^ termer. Hvarje term är en determinant 



af ordningen n, som till sitt absoluta belopp ligger under M^^n^. Man erhåller så 



I I n{n—l) i 



I ««-22 I ^ — ^ 2 • 



På samma sätt fås allmänt 



n 



n 



(82) I I < + M'-n-'. 

 Alltså är 



n 



(83) I a„oX"| + |a„_nX'^-ip | + . .. + | p" | < (| X | + | p |)" ilf" w^. 



Koefficienterna i utvecklingen af ®xy_|_p/j äro alltså till sitt absoluta belopp 

 mindre än koefficienterna i serien 



n 



CO 



(84) ' S j- M"(X + p)\ 



n = 0 



n 



hvilken, såsom i teorien för integralekvationer visas, är uniformt konvergent för 

 hvarje ändthgt värde på X och p. 



Det är sålunda bevisat, att determinanten till ekvationen (77) kan utvecklas 

 i en ständigt konvergent potensserie af X och p. Den är alltså en analytisk funk- 

 tion af X och p, som icke har några singulariteter för ändliga värden af dessa 

 variabler. Häraf följer, att ^^yj^^j^ kan utvecklas i en konvergent potensserie 

 af X — X(,, p — Pq, där X^ och p,, betyda hvilka ändliga värden som hälst. 



