Några viiriationsformler inom integialekvationernas teori 



29 



V. 



Betrakta integralekvationen 



(77) 



(78) 



Lösningen af densamma beror af kvantiteterna 



X 



Jag påstår, att dessa kvantiteter kunna utvecklas i potensserier af paramet- 

 rarna X och p, och att dessa serier konvergera för hvarje ändligt värde af X och p. 



Bevis: Allmänna termen i ®),y_j_p/j (de följande S-kvantiteterna kunna under- 

 sökas på samma sätt som %y_|_p;j) heter: 



I 1 \f{x^ , a?J + p h{x^ , -x^) . . . X/(:r^, :r„) + p h{x^ , x,,) 



(79) 



1 



n 



IfiXn, 4- ph{Xn, X^) . . . Kf[Xn, Xn) + {jh[Xn, Xn) 



Detta är tydligen ett polynom af ?^:te graden i X och p och kan alltså skrifvas 

 1 



n 



[anol'' 4- an-n p + a„_22 X"-^ p' + . . . + ao«p"). 



a^o erhålles enkelt: 



1 1 



«nO = ^dx^ ... I 



y(iCj , x-j . . . f{xj , x„) 



f{Xn , X-^) . . . f{Xn , Xji) 



För att erhålla en öfre gräns för ano tillämpa vi Hadamards determinantsats. 

 Jag antager f[x, y) och 'h{x, y) vara ändliga och betecknar med M maximum af . 

 deras absoluta belopp. Vi få då 



n _ 



I a,, o I <. -Zfef" ■ 



Vi gå nu till beräkningen af an-w- För att finna koefficienten till X"-i p ^ 

 utvecklingen af 



(80) 



X/(Xi , X^ + pH'^i, Xy . . X/(,Xj , X„) + [i}l{Xy , Xn) 



X/(,r„, -f p/i(a?„, a^J . . . X/(x„, + ph{xn, x,,) 

 kan man gå tillväga på följande sätt: Ersätt i determinanten 



fi^l , X^) . . ■ f{x^ , Xn) 



(81) 



/ 



X-^ . . , Xfij 



f {Xn , X-^ . . . f {Xfi 1 -^n) 



