Några variationsformler inom integralekvationernas teori 25 



Det är då uppenbarligen möjligt att bilda åtminstone en fundamentalfunktiou 

 4> sådan att 



och att alltså likheten 



Sf^' + 4> = O 



kan lösas. är då en principalfunktion. 



Nu har emellertid Gouesat visat *), att förekomsten af principalfunktiouer är 

 ett nödvändigt och tillräckligt villkor för, att det betraktade fundamentalvärdet skall 

 vara en rot till ®)^y. — O af högre ordning än n, fundamentalfunktionernas antal. 

 Enligt GoTJRSAT kan man då finna ett system af g'l + ^2 4~ • ■ • 'Z» lineärt oberoende 

 funktioner (p'j^' . . . (p^^^', tp'^' . . . (p^2^>, _ _ 9*"' • • • <p^"^, som satisfiera likheterna 



(66) 



Här är + ?2 ~l~ • • • + 3'» J^st lika med ordningstalet af roten X = 1 till 



Det så definierade systemet af funktioner kallas ett kanoniskt system af prin- 

 cipalfunktioner. Funktionerna f'-f, . . . äro uppenbarligen fundamental- 

 fuuktioner. 



Betrakta funktionerna i t. ex. den v-te gruppen. Taga vi en af dessa funk- 

 tioner, låt vara {i < g^), så framgår af ekvationen 



S 4- = O 



/ li+l I Ti ' 



att 



(67) ('frt-)^^' 2' '■<?v 



Detta äger däremot icke rum, om vi sätta i = q^, ty i så fall skulle ytterh- 

 gare en principalfunktion kunna bildas, hvilket är i strid mot antagandet, att funk- 

 tionen rp^^' är den sista i sin grupp. Vi kunna alltså utföra en lineär transforma- 

 tion af funktionerna <\tj^, , . . t}*», så att 



I O för i i f 



Det af likheterna (66) definierade kanoniska systemet är icke entydigt bestämdt. 

 Det kan på olika sätt hneärt transformeras utan att upphöra att vara kanoniskt. 

 Vår uppgift är att söka en sådan kanonisk form, att på dess enskilda grupper 

 samma förfaringssätt kan tillämpas vid variationen, som ofvau kommit till använd- 

 ning, då blott en grupp existerade. 



*) Se hans i det föregående citerade arbete. Den nedan använda beteckningen afviker 

 något från Gouesats. 



Lunds Univ:s Årsskrift. N. P. Afd. 2. Bd 7. . 4 



