Några variationsformler inom integralekvationernas teori 23 



hvaraf 



a och b kunna nu bestämmas, och vi kunna välja a godtyckligt, t. ex. a = 1. 

 Då är 



Alltså äro de båda funktionerna 



= u{x) — v{x), 

 <^^{x) = u{x) -j- ]/^ i>. v(x) 

 fundamentalfunktioner till den varierade integralekvationen och svara mot funda. 

 mentalvärdena 



A„= 1 



1+1/ [1 



Vi få alltså nu två fundamentalvärden och två fundamentalfunktioner i stället 

 för en. En viktig omständighet är att variationen af såväl fundamentalvärde som 

 fundamentalfunktion är af samma ordning som 1/^(1, eller kvadratroten ur kärnans 

 variation. 



Analogt har man att vänta, att SX skall vara af ordningen [l' , om q princi- 

 palfunktioner finnas. Detta visar sig också vara förhållandet i allmänhet. Vi 

 återgå alltså till betraktande af det fall. att X = 1 är en g faldig rot till 'S)yj. = 0, 

 och att däremot svarar fundamentalfunktionen 'f^ samt de kanoniska principal- 

 funktionerna 'fg, tpg, ... cp<, . Låt kärnan f{x, y) erhålla variationen 



df{x, y) ^ ]i.h[x, y). 



Vi söka nu bilda en sådan kombination af fundamental- och principalfunk- 

 tionerna 



(60) = TiW + =1 Tai«) + ■ • • + ?qi^)^ 



att den blir en fimdamentalfunktion till den varierade likheten, om den ökas med 

 en kvantitet S'f(a?) af samma storleksordning som §/. Alltså skall 



^x) + n^{x) + (1 + SX) ]if[x, y) + ^h[x, y)] [4>(y) + dy = 0. 



o 



Är ij, = 0, så är Sj = = . . . = £q_i = SX = 0. Dessa kvantiteter äro alltså 

 oändligt små, då är oändligt litet, och deras produkter med ^j. och §(p kunna 

 alltså försummas. Göra vi det, få vi 



+ (1 + y) [f,{y) + £, '^,{y) + . • . + ^j^y)] dy + 



o 



+ [j. / h{x, y) '£,(îj) dy -\-8 w{x) + / f{x, y) S cp(?/) dy = O, 



