22 Henrik Block 



Man ser då omedelbart, att 



SfU = 0, Sfv-^u = 0, TfU-\-v = 0, Tfv = 0. 



X = 1 är alltså ett fundamental värde, mot h vilket svarar följande kanoniska 

 system af principalfunktioner 



fl = rp^= v. 



Vidare är 



«|j = v. 



Det är lätt att konstatera, att X = l är en dubbelrot till ^■^^=0. Bilda 

 nämligen 



1 



y) =jf{^, t)f[t, y) ät = u(x) u{ij) + v{x) v{tj) -\- u{x) v{y) = — f[x, y). 

 o 



Allmänt finnes, att 



y) = [fn-x{x, t) fit, y) dt = [-.\)n-tf{x, y). 

 o 



®)^y kan beräknas ur serien 



11 1 



f r x^ f 



log%y= X /(ic, x)dx — /^(x, t?^ + j f^{x, x)dx — ..., 



0 0 0 



1 



: j fix, x) dx (\ -\- . . }j . 



o 



Nu är 



1 1 1 1 



/ f[x, x)dx= — / u[xy dx — ■/ v[x)^ dx — / u{x) li^x) dx — — 2, 



o 0 0 0 



således, 



log ®^^^=_2(x + ^ + ^'+ •.■) = 2 log(l-X), 



®Xy=(l-X)^ 



Låt nu 8f{x, y) vara af formen 



S/'(a3, y)^ — ]i.v[x) u{y). 



För att en funktion ^{x) skall vara fundamentalfunktion till kärnan f[x, y) -\- 

 -j- S/(.x, y) med fundamentalvärdet A, måste den tydligen vara af formen 



'^[x] — a ii[x) + h v{x). 



Insättes detta uttryck i den varierade ekvationen, så fås 



a(A — 1) + 6A = 0, 

 a}iA + 6(A— 1) - O, 



eller efter elimination af a och h 



A— 1 A 

 [lA A— 1 



= A.\\ — }f) — 2A +1=0, 



