Några variationsformler inom integralekvationernäs teori 



21 



Däremot är (cc^''^ ^) icke noll, ty i så Ml skulle ännu en principalfunktion 

 kunna bildas. Af likheten (54) framgår, att 



1 11 1 



Införa vi här värdet på 'f<'')(aj) och sätta 



erhålles 



L ± 1 ± X 



(56) , 1 3., («) * jrf., . . . j ■ ; = («) jrf., . . . I 3.,(^; ; : ; 



Jag inför nu i stället för cp*^', cp'^', ... jpC'/) andra funktioner tp^, «pj, 



enligt formlerna 



(57) 



9. = - (T^^' + 2^^^^), 



(58) 



Som lätt verifieras, satisfiera dessa funktioner följande likheter; 



Funktionerna (pj cpg, ... cp,; kallas då ett kanoniskt system af principalfunk- 



tioner. 



Man har uppenbarligen som en följd af relationerna (55), (56) 

 (tp^ (j>) = O f ör p < g 



(59) 



o o 



Vi gå nu att undersöka, hur detta system af principalfunktioner förhåller sig 

 vid en oändligt liten variation af kärnan f[x, y). För att ge en föreställning om 

 förhållandena skall jag först betrakta ett speciellt fall. Antag kärnan f[x, y) vara 



f{x, il) = — \u[x) u(y) + v{x) v{y) + u{x) v(y)] , 



där funktionerna u och v uppfylla villkoren 



1 1 1 



/ u{xy dx = 1, / v{x)^ dx= 1, f u{x) v{x) dx = 0. 

 o o o 



