Några variationsformlei' inom integialekviitionernas teori 19 

 1 



/ 



O 



S^f^^^ = — / f{x, X,) (f<"(x,) dx^ = tp'"(a;). 



1 , erhålla vi först 



7] OC-^ 



f\f\x^xj J-'^ ' i\(\x^x^i 



Den sista termen kan äfven skri Evas 



Om vi nu dividera med |2, multiplicera med dx^äx^ och integrera två 

 gånger mellan O och 1, så går första termen till höger ut, och de båda öfriga bli 

 inbördes lika. Vi erhålla så 



;S^tp<3)= _ t) !p<2' [t) dt = !p'2'_ ^^rp(2) ^(2) _ aj( 1 ' . 



O 



Vi fortgå på samma sätt och erhålla följande kedja af ekvationer 









= 0, 











(53) 



< 





= (p<2) 



(p'^' ha vi antagit icke identiskt försvinna. Af den andra ekvationen framgår 

 då, att <p'2' icke kan identiskt försvinna, samt att cp'^' och tp<i' äro lineärt obero- 

 ende. Af nästa likhet framgår, att 9*^' icke kan identiskt försvinna och är lineärt 

 oberoende af och cp'2' o. s. v. Vi ha således ett system af (/ stycken funk- 

 tioner (p'^', 9*2', ... 9''^^ sådana, att operationen 8^ utförd på en af dem ger en 

 lineär kombination af de föregående funktionerna i systemet. Detta system kallas 

 ett system af principalfunktioner. Antalet af de lineärt oberoende principalfunk- 

 tionerna (fundamentalEunktionen inberäknad) är g, eller lika med ordniugstalet för 

 den betraktade roten till ®)^y=0. Att antalet icke kan vara större än q, kan 

 visas på följande sätt. 



Vore antalet principalfunktioner större än q, skulle man kunna bilda en funk- 

 tion sådan att 



S^f(i+^^ = f«i'> — cpC'?-!) + . . . + cp'1'. 

 Tillämpa nu emellertid den FREOHOLar'ska formeln (4) på kvantiteten 



^ (xX,... Xq)^ _ 



f Vf] X^ . . . Xc 



