18 Henrik Block 



Enligt antagandet existerar blott en fundamentalfunktiou ; alltså är 



icke identiskt noll. För ett godtyckligt konstant //-värde är lösning till 



likheten S^'f = 0; alltså är formen hf{x), om f{x) är den till \ — 1 hö- 

 rande fundamentalfunktionen. På samma sätt är för ett godtyckligt x-värde 

 en lösning till = O ; alltså är = för x konstant. Man drar 

 däraf den slutsatsen, att 



där C är en konstant. 



o 



A andra sidan är 



S)^.Q = (7cp(x)<l.(.^), 



L 1 



X=i o 



Som försvinner samtidigt med S^y, är X = l åtminstone dubbelrot till 



®xy = 0. Antag, att det är en rot af ordningen q. 

 Vi bilda nu kvantiteterna 



(52) 



1 11 11 



Ô 0 0 0 0 



Enligt antagandet försvinner icke den första af dessa kvantiteter identiskt, 

 och som vi längre fram skola se, är det ej heller fallet med de följande. Skrifva 

 vi emellertid x i stället för y och integrera i x mellan O och 1, så försvinna alla 

 kvantiteterna identiskt, utom den sista. Det följer däraf, att X = I är en rot af 

 q:te ordningen till ®)^y = 0, och af den allmänna relationen 



o o 



I uttrycken (52) insätta vi nu ett visst konstant värde y = i] sådant, att 

 ®. r] icke identiskt försvinner. De så erhållna funktionerna af x betecknar jag 



med (r'i'(x), 'l'^^[x), ... (p"''(x). tp''' är en fundamentalfunktion, alltså af formen 

 lc's{x]. 



(oc oc \ 



1 



b 



Multiplicera vi nu med äx-^ och integrera, så försvinner första termen till 

 höger och vi få 



Acta Mathematica, band 27, sid. 370. 



