Några variationsformler inom integvalekvationerrias teori 



17 



Vi omge nu i det komplexa X-planet vår rot af ordningen n med en sluten 

 kurva, som icke innesluter några andra rötter till ekvationen S))_y=0. Som 

 är en öfverallt regulär analytisk funktion, är integralen längs denna slutna kontur 



1 f , ^ 7^ 



2to } dl ^ 



lika med antalet rötter till 'S))y=0 inom konturen, alltså n. Då nu ,/ varierar 

 med den oändligt lilla kvantiteten S/, får uttrycket (50) ett oändligt litet tillskott s. 

 Skillnaden mellan antalet fundamentalvärden till den ursprungliga och den va- 

 rierade likheten inom konturen är alltså oändligt liten, och som denna skillnad å 

 andra sidan måste vara ett helt tal, är den nödvändigtvis lika med noll. Antalet 

 fundamentalvärden i närheten af värdet X har således icke förändrats. De äro 

 uppenbarligen X-|-SX,, räknad p gånger, samt X-f-SXp^.!, . . . X-|-SX„. 



Däremot har antalet fundamentalfunktioner niiuskats, i det mot det jj-faldiga 

 fundamentalvärdet X-f-SX^^ endast svarar en fundamentalfunktion 4>, , såvida ej ett 

 visst antal af kvantiteterna A., försvinna, hvilket emellertid är ett undantagsfall. 



Vi ha således att göra med det fall, att mot en rot till ®)^y=0 af en viss 

 ordning p svara ett mindre antal fundamentalfunktioner. Integralekvationens lös- 

 ning i detta fall är undersökt af Goursat i den i inledningen citerade afhandlingen. 

 Han har uppvisat, att i så fall existera utom fundamentalfunktionerna äfven ett 

 antal funktioner, hvilka han betecknar med namnet principalfunktioner och som 

 satisfiera likheter sådana som (48). Summan af antalet fundamental- och principal- 

 funktioner är just hka ined ordningstalet för motsvarande fundamentalvärde. 



Vi se alltså, att under det funktionen öfvergår i en fundamentalfunktion 

 för den varierade ekvationen, så öfvergå fundamentalfunktionerna ccg, .. 'fp i all- 

 mänhet i principalfunktioner. 



I det följande skola vi vid undersökningen af de återstående undantagsfallen 

 se exempel på den motsvarande företeelsen: uppkomsten af nya fundamentalfunk- 

 tioner. Äfven här visa sig de GouESAT'ska principalfunktionerna spela en stor roll. 

 Det torde därför i detta samband icke vara utan intresse att något dröja vid teorin 

 för ifrågavarande funktioner. Jag uppehåller mig i synnerhet vid det enklaste fal- 

 let, då endast en fundamentalfunktion finnes, och jag härleder de resultat, som i 

 det följande behöfvas, direkt ur de FBEOHOLM'ska formlerna. Ett liknande förfa- 

 ringssätt kan användas i det allmänna fallet, ehuru jag för närvarande ej ingår 

 härpå. 



Det undantagsfall, som vi först stött på, var det, att mot ett visst X-värde 

 (jag antar för enkelhets skull, att detta värde är hka med 1) svarar blott en funda- 

 mentalfunktion cp, och att 



1 



(50) [9'^)= I 'fN I'M äx = 0. 



o 



Jag påstår, att då värdet X = 1 är en multipelrot till ®xy = 0. 



Lunds Univ:s Årsskrift. N F. Afd. 2. Bd 7. 3 



