Några variationsformler inom integralekvationernas teori 15 



De n möjligbetsvillkoren till denna ekvation ge oss relationer af formen 



(Pil ~ P/i) = {%^f'iv) + kända kvantiteter, j i 



Piv+i ~ ^~ kända kvantiteter. 



Eftersom p^.^ :^ p.^ för j ^ i, så bli -BTj^, K^, ... Kn entydigt bestämda, utom 

 K., som förblir godtyckligt. Vi kunna sätta = 0. Den sista likheten ger p^^_|_j 

 utan tvetydighet. 



(c,.^^^ kan nu beräknas, och uttrycket därför innehåller n godtyckliga konstanter. 



Vi kunna således fortsätta beräkningen af koefficienterna i utvecklingarna 

 (33), (34) hur långt som hälst. 



Viktiga för undersökningen af hithörande maximi- och minimi- problem äro 

 isynnerhet uttrycken för p.^ och p.,. Jag ingår emellertid ej här på diskussionen 

 af dylika problem. 



IV. 



Vi gå nu att undersöka de i det föregående påpekade undantagsfallen. Först 

 betrakta vi det fall, att determinanten (22) är skiljd från noll, men att ekvationen 

 i s (29) har en multipelrot af till exempel p:te ordningen, så att s^^ = = . . . = Sp. 

 Genom lineär transformation af funktionerna cc^, tp^, ... (p„, (Jjj^, ... 4"?» kunna 

 vi då bringa ett antal af kvantiteterna Aß att försvinna, så att determinanten (29) 

 öfvergår i 



(47) 



-s A 



O 



12 

 — S 



Alp 

 Aip 



O 

 O 



O 



o 



= o 



Ap—ip kunna 



O O ...o o ... Sn—S 



under det relationerna (23) äro uppfyllda. Af kvantiteterna A^^ 

 vi få ytterligare några att försvinna, men i allmänhet icke alla. För tillfället skall 

 jag emellertid ej uppehålla mig därvid. 



Vi låta nu kärnan / erhålla tillskottet S/. Fundameutalfunktionerna cp^ och 

 'fp+i, . . . 'f„ öfvergå då i fuudaraentalfunktioner ^^p+ii ■ ■ • till den varierade 

 kärnan. Detta är däremot icke förhållandet med funktionerna f^, f^, ... fp. Hvil- 

 ken roll spela dessa funktioner, då kärnan varierar? 



Låt <ï>2, ... vara p — 1 tills vidare obestämda funktioner, oändligt litet 

 . fp. För att definiera dem sätta vi för korthets skull 



+ 3X.) [/{x, y) + S/(^c, y)] = F. {x, y). 



skiljda från f^ , f^ , 



Då är 



SX, 



8K 



SX 



p > 



