14 Henrik Block 



och vidave att 



Likheterna (42) ge alltså 



(44) (pii — (jji) Cj = ('];,• h fn) , j 4= i, 



och som alla kvantiteterna p^^ p^^, . . . p„i äro olika, bestämma dessa ekvationer säkert 

 (7j , Cg , . . . Cn med undantag af G. 



Vi gå nu till ekvationen (43), som ger p..,: 



pi-i = pil — pil Ci + (^l^i /i f'a) + Ci(']ji /i cfi) , 



(45) pi2 = pil -f (<|;i /i (fil). 



Konstanten (7. försvinner alltså ur slutresultatet. Den kan väljas godtyckligt, 

 hvilket för öfrigt var att förutse. Vi antaga till exempel = O, i hvilket fall 



1 1 



(<]>i h, fil) = (l^i h Wii) =jdxjdy ^i{x) h{x, y) fii{y). 



o o 



(r^.j är nu entydigt bestämd.' erhålles ur integralekvationen (41), som nu 

 är möjlig att lösa. I ingå n godtyckliga konstanter, hvaraf en, nämligen ko- 

 efficienten till 9^., förblir arbiträr och kan sättas lika med noll, under det de andra 

 bestämmas af möjlighetsvillkoren för nästa ekvation. 



Jag skall nu uppvisa, att denna operation alltid är möjlig. Jag påstår, att 

 om vi bestämt kvantiteterna p.^, p.^, ... p^y och funktionerna tr.j, 9.,, ... f^^_^ 

 entydigt samt tp^^ på n arbiträra konstanter när, så är det alltid möjligt att be- 

 stämma dessa konstanter och kvantiteten p^^^^ så att integralekvationen för f^^j^^ 



kan lösas. Denna ekvation heter nämligen 

 I 1 



(46) Sf tp.,^^ ^ y y) f jif) dy + p^J L/(aJ, y) [y] + h{x, y);v.^_ ^ [y)] dy . . . — 



o o 



— Piv+i % (^) - 0. 



De termer, som ej utskrifvits, bero blott af kända kvantiteter. Enligt den 

 ekvation, som bestämmer cp^^, är 

 1 



/ [/(^. y) 'f iv {y) + ^*(^. y) ?iv_i (?/)] = — ?iv (^) + kända kvantiteter, 

 o 



Vi ha vidare 



?i, = ?iv + -^1 ^1 + ^2 <P2 + • ■ • + fn, 



där cp'. är fullt bestäm dt och satisfierar 



(91.%) = ^^ .i=l, 2, 



under det K^, K^, ... Kn äro konstanter, som skola bestämmas. 

 Ekvationen (46) blir således 



1 ni 



^f'?iy+i + / /'(^' y) fi, [y) dy + l^^jKoc, y) f^{y) dy — 



o x=l o 



11 



- Pil ^'iv (^) — Pil s ^y. ?x ipc) — P,-v+i 'fi(^) + Fix) = O , 

 där F{x) är en känd funktion. 



