Några variationsfonnler inom integralekvationernas teori 13 



Vi skola då ha 



(35) f i{x) + \>^fn{x) + f i2{os) + . . . + 



1 



+ (1 + [J-p/i + [J''p/2 +• - ■)/ \f{x, v)+\>^ h(x, y)] i^iii/) + i). 'fail/) + V^^f dp) . . .) d'i/ = 0. 



o 



Koefficienten till bvarje poteu,s af skall här sättas lika med noll, hvilket 

 ger oss integralekvationer för den successiva bestämningen af tp^^^, cp^^' ■ • • ^i^^" 

 koren för att de skola vara lösbara ge oss p.^, p.g, . . . 



Sätta vi koefficienten till [x lika med noll, fä vi 



(36) Sf cpii + / h{x, ij) 'f ly) dy — pn ^i{x) = O 



o 



Jag inför nu för korthets skull beteckningssättet 



1 1 



(37) f dx j dy u{x) h{x, y) v{y) = (uhv) 



o o 



För att (36) skall vara möjlig att lösa, fordras, att 



(38) pil = {'^i h (Di). 



De öfriga n — 1 möjlighetsvillkoren äro identiskt uppfyllda på grund af rela- 

 tionerna (23), (30). Vi ha ju nämligen 



[t('l;j h cp4 = Aji = O f ör t j. 



Ur (36) kunna vi nu bestämma f^^{x). Denna funktion blir ej entydigt be- 

 stämd. Vi kunna nämligen tillägga en lineär kombination af , cp^, ... cp« med 

 godtyckliga koefficienter : 



(39) = tph + C, rpj + O, 9, + . . . + a, fn. 

 f'.^ vak beteckna den lösning, som uppfyller villkoren 



(40) (cp^t '^j) = 0 i = 1, 2, . . . ^^. 

 Vi gå nu att bestämma p.^ och 'f.^. Termerna i ge 



11 1 



Sf fi2 + / Hoc, y) ffiiiy) dy + pa j [f{x, y) fniy) + h{x, y) (pi{y)] dy + pi2 / /{x, y) (pi(y) dy = O, 



0 0 o 



eller med hänsyn till föregående ekvationer 



1 



(41) Sffi2 + / h{x, îj) (piiiy) dy + pnipu fi{x) — (5^i\{x)) — pii ^Si^x) = 0. 



o 



Möjlighetsvillkoren erhållas genom att multiplicera med '^■^ix), "^4^^)^ • ■ ■ 'W^) 

 och integrera. Vi erhålla så 



(42) (t^j h fit) — piiifn %) = O för j 4= i, 



(43) ((jji h (pil) + pil — PiÅTn '^i) — Pi2 = O- 

 Vi beakta nu, att 



1 1 



(% h (pii) = fdxjdy <^j[x) h{x, y) [^^{y) -f <v^{y) + f^{y) + . . • + GnfAy)] = 

 o o 



= h fn) + G,{'!^j h f,) + G,{^j A (p,) + . . . + Gni'S^j h cp„) = (^j h fn) + G^ pji , 



