12 



Henrik Block 



Som dessutom 

 så följer 



Aif = JdxJ dy 'fi{x) 8/{x, y) = Aß i, ; = 1, 2, . . .n. 



0 0 



Determinanten (29) är då symmetrisk i af seende på pvincipaldiagonalen, och 

 af teorin för lineära substitutioner är då bekant, att den ifrågavarande transforma- 

 tionen alltid är möjlig, äfven om fundamentalekvationen skulle ha ett antal hka 

 rötter. 



III. 



Innan jag går att behandla de i det föregående uteslutna undantagsfallen, 

 skall jag yttra några ord om beräkningen af termer af högre ordning. Klart är 

 nämligen, att de ofvan beräknade kvantiteterna SX och Sep blott äro de första ter- 

 merna i oändliga serieutveckUngar. Om dessa uttryck skola hafva någon mening, 

 är det nödvändigt, att serierna skola konvergera och att deras termer skola kunna 

 successivt beräknas. Till konvergensfrågan återkommer jag senare. För tillfället 

 skall jag blott uppvisa möjligbeten att beräkna termer af hvilken ordning som hälst. 



Låt oss alltså ånyo betrakta det fall, att mot ett visst X-värde, som jag för 

 enkelhets skull antager vara = 1, svara n stycken fundamentalfunktioner 9i, tpg, ■ - • œ», 

 och n funktioner 4*1, ^2, •• - 'K, lösningar till ekvationen (15). Vi antaga, att deter- 

 minanten (22) är skiljd från noll, och att ekvationen (29) har n olika rötter. Vi 

 kunna då genom att till 9^, tpg, ... ©,1 välja just de ofvan beräknade funktionerna 

 <ï>j , <ï>2 , ... samt göra en analog transformation af funktionerna «Jj^ , 4*2 1 • • • 4'» 

 uppnå att 



(23) |0 

 och att dessutom 



(30) jdx I dy U^) 8f{x, y) = O för i ^ j. 



o o 



Rötterna till ekvationen (29) äro då 

 1 1 



(31) Si = f dxfdy '!^i{x) SJ{x, y) fi{y), * = 1, 2, . . . n. 



o o 



Enligt vårt antagande äro dessa n kvantiteter alla olika. 

 Vi sätta nu 



(32) 8f{x, y) = (A . h{x, y), 



där [A är en parameter, som vi antaga vara mycket liten, och h[x, y) en ändlig 

 kvantitet. och SX^ bli då potensserier i jx: 



(33) S(pi(a;) = [J, (Vn{x) + [j.^ ^i2{x) + . . . , 



(34) SXi == ^pii + ()-Vi2 + ■ • . ■ i=\,2,...n 



