Några variation sfonnler inom integralekvatioiiernas teori 11 



hvilka äro fundameutalfunktioner svarande mot de n olika fundamentalvärdena 



\ + \ + ... X + X2^„. 



Vi få alltså samma antal fundamentalfunktioner som förut, men de höra ej 

 längre till ett och samma fundamentalvärde, utan till n olika värden. 



Om däremot ekvationen (29) har en raultipelrot, är det i allmänhet omöjligt 

 att finna n skiljda värdesystem, som satisfiera (28). I så fall erhålla vi med den 

 använda metoden ett mindre antal fundamentalfunktioner till den varierade kärnan 

 än till den ursprungliga. Vi skola längre fram närmare undersöka detta fall, lik- 

 som ett annat, som vi här uteslutit, det nämligen, att determinanten (22) är lika 

 med noll. 



I ett mycket viktigt fall kunna emellertid dessa undantagsfall icke förekomma. 

 Det är det af HiiiBEKT och Schmidt behandlade fallet, att kärnan f{x, y) är sym- 

 metrisk i X och y. 



y) 



Då är 



Hör till fundamentalvärdet X blott en fundamentalfunktion tp(ic), så är alltså 



1 1 

 j(p{x) tj)(x) dx = j'£(x)^ dx, 

 o o 



och som enligt Hilberts *) och Schmidts **) undersökningar alla fundamentalvärden 

 och fundameutalfunktioner äro reella, följer däraf, att villkoret (18) alltid är upp- 

 fylldt. Höra åter till värdet X n fundamentalfunktioner ip^, (p^, ...tpn, kunna vi 

 alltid genom lineär transformation uppnå, att 



1 



(?i ^j) = {?i fj) = / 'f 4^) dx = 0 för i 4: 

 o 



under det naturligtvis 



(?ii^i)= dx > 0. 



Då är 



{?i 4-1) (9i 1^2) •• • (?i W 

 ('f 2 (?2 1^2) •• • if 2 4*«) 



{fl ?l) (?2 ?2) ■ • • i?n ?n) > 0. 



{?n 4^1) {9n 4-2) ■• • ifn 4»™) 



Det återstår nu att undersöka hvad som sker, om ekvationen (29) har ett visst 

 antal lika rötter. 



Om den varierade kärnan också skall vara syrametrisk, så är 



y) = 5/(«/, x). 



*) Göttinger Nachrichten, år 1904 och följande. 

 **) Mathematische Annalen, bd. 63. 



