Några variationst'oiiiiler inom iiitegralekvationernas teori 



9 



bestämmes variationen SX af 

 (19) 



1 1 



jdxfdy^(x)hf[x, y)<ç{y) 



J f{x) <5^{x) dx 



Sedan SX så bestämts, är ekvationen (16) lösbar, och vi erhålla därur S<p. 

 Ar (18) uppfylld, kunna vi bestämma de arbiträra faktorerna i f{x) och '])(«) 

 så, att 



1 



(20) / (p{x) tj^(;r) dx=^l, 



o 



och få då för SX uttrycket 



(19 a) SX = X^ jdx I dy ^x) 8f{x, y) '^{y). 



o o 



Vi gå nu till det allmänna fallet, att likheten 



S^f^{x) = 0 



har n stycken lineärt oberoende lösningar 



(Pi(a?), ©^(a;), . . . (p„(x). 



Likheten 



har då också n stycken oberoende lösningar 



^i{y)i Hvl ■ ■ ■ Uy)- 



Jag skrifver för korthets skull 



(21) {fi %) = / f i{x) <!^i{x) dx 



o 



och antager att 



{?! '^i) {?i l'a) • • • ifi W 



(22) 



(Ts l^l) {'h l^s) • • • (?2 4*») 



+ O 



{?n ^t) {'fn 4^2) •• . ifn 4*«) 



Vi kunna då alltid genom en lineär transformation af iy^...cp„, . . . (J),, 

 uppnå, att 



(23) 



_ (O för ^• + i. 



1 1 för i = j. 



Bilda vi en lineär kombination af 9^, f^, . . . <p« 

 (24) ^(x) = C, ^,{x) + G, f,{x) + . . . + 6V fn{x), 



så är ct> en lösning till (14). Vi söka nu att bestämma C^, Cg, ■ ■ . Cn så, att 

 <ï> -f- S<E> blir en fundamentalfunktion till den varierade ekvationen och sålunda 

 satisfierar likheten 



^x) + S4>(x) + (X + SX) l\J[x, y) + S/(x, y)] [^y) + ^^{y)\ dy = O, 



o 



där S$ och SX äro oändligt små kvantiteter af samma ordning som 8f. Om termer 

 af högre " ordning försummas, ger detta 



Lunds Univ: Årsskrift. N. F. Afd. 2. Bd 7. 2 



