8 Henrik Block 



För undersökning häraf är uttrycket (13) otillräckligt, ty i närheten af ett noll- 

 ställe för bli både log och g{x, y\ X) oändliga. En direkt metod vore att 

 bilda utvecklingen af ®x(/-|-8/)' lösa ekvationen 



®X(/+8/) = 0. 



och jämföra dess lösningar med lösningarna till 



®X/ = 0. 



Följande metod för oss emellertid på kortare väg till målet och ger samtidigt 

 ett intressant uttryck för variationen. 



Om för ett visst X-värde ®)y är lika med noll, så har den homogena integral- 

 ekvationen 



1 



(14) ^x/ ? = <pN + >^ / /(^. y) ày = 0 



o 



en eller flera lineärt oberoende lösningar. Vi antaga till en början, att endast en 

 dylik lösning tp(a;) finnes. Det finnes då också en och endast en lösning ij(y) till 

 likheten 



1 



(15) T^fk- 'K.'/) + ^ \åx, y) m = 



\) 



Vi ge nu kärnan /{x, y) ett oändligt litet tillskott ^f{x, y). Fundamental- 

 värdet X varierar då med SX, och den till värdet X-|-SX hörande fundamentalfunk- 

 tionen blir 'f{x) -j- ^f{x). Alltså är 



1 



+ S ^{x) + (X + SX) I \f{x, y) + h fix, y)] [^{y) + ^{y)] dy = 0. 

 o 



Här försumma vi alla termer, som äro af högre ordning än den första i S/", 



SX och 5œ. Med hänsyn till (14) få vi då 



1 1 1 



S ^[x) + xj j{x, y) 8f{y) dy X j 8f{x, y) ^{y) dy -\r 81 j f{x, y) f{y) dy = 0. 



o Ü o 



S) 



Enligt (14) är den sista termen = r-' <f{x). Införa vi detta, få vi efter om- 



X 



flyttning 



1 1 



(16) S (f{x) + xijix, y) S cp(^) dy = ^ ?N — X j df(x, y) 'f(y) dy. 



o o 

 Detta är en integralekvation för bestämningen af 8f{x). Dess determinant är 

 emellertid lika med noll, och för att lösning skall vara möjlig, fordras därför att 



högre membrum uppfyller villkoret 



1 11 



(17) ^ j cp(x) <!^(x) dx-l^dx^ dy 4»(x) S f(x, y) 'f{y) = 0. 



o 0 0 



Om alltså 



1 



(18) j' 's(x) ^x) dx ^ O, 



o 



