Någva variationsformler inom integralekvationernas teori 

 1 



j g{x, t] X) g(t, y; \) dl = 



-/(/, p)+ijdx,M ?/)+ 



o 



1 1 



- j dt\-f{.r, f)-\-l j dx, /(rr, x^)J[x,, t)^ . 



o o 



1 1 



= j_f{x, x^)j{x, , y) dx^ — dx^ j dxj{x, x^)f{x,, x^)f{x^,y) + 



o 0 0 



1 1 1 



+ SX^y dx^j dx^j dxgf{x, x^)f{xy, x^)f{x^, ^3) /K' .¥) + ••• 



o o 

 hvilket kan skrifvas 



(12) 



1 



I 



d 



g(x, t; X).9(if, y; X) c^X == — .(/(.-r, y; X). 



Denna likhet är härledd under förutsättning, att X är tillräckligt litet ; men 

 som g{x, y; 1) är en analytisk funktion at X, inses lätt, att (12) gäller för alla 

 X-värden *). 



Tillämpas formel (12), och integrationsvariablernas beteckning pä lämpligt sätt 

 ändras, kan (11) skrifvas 



dX 



1 11 11 



x) dx-\-2'k\ dx dy g{x, y, X) 8 f{y, x) -\- X^ dx 



1 11 

 5 log ®xy = js J[x, x) dx^2\^dx^c 



o o 



o o 



1 



=1 



S J{x, x) dx -{- 



d\ 



1 1 

 o o 



y\ X)S/(?/, a;) 



Integrera vi denna likhet i afseende pä X, erhållas 



1 11 

 (13) S log = X^ S/(aj, x) dx + X^ J (?aj ^ ^(jc, y ; X) S/(«/, aj). 



o 00 

 Integrationskonstanten är här bestämd af villkoret, att för X = O, 3))^y= 1, 

 alltså log '3))^y.= 0, h vad f{x, y) än är. 



Om vi i formeln (13) sätta X = 1 och insätta uttrycket (3) för g{x, y), så er- 

 hålles samma uttryck för variationen af log ®; , som Fredholm på annan väg 

 härledt. 



II. 



Af synnerlig vikt är som bekant studiet af nollställena till "^xp hvilka be- 

 tecknas som fundamentalvärden till ekvationen (1). Hur variera dessa fundamental- 

 värden, då f[x, y) erhåller tillskottet 8f[x, y)? 



*) En annan härledning af denna formel för godtyckligt värde på X återfinnes hos Gouhsat 

 i den i inledningen citerade afhandlingen. 



