6 Henrik Block 



1 1 11 



<P{x) = x{x) + X fg{x, y) x[y) dy-Xj S/(x, y) dy - X' f g{x, t] dt f 8f{t, y) ^{y) dy 



ü 0 0 0 



Om vi för ett ögonblick sätta 



1 



(7) y)^lj g(x, t) Bf(t, y) dt = y), 



o 



så kan detta skrifvas 



1 1 



(8) + X| Tc[x, y) ^y) dy = x(.r) + X | g[x, y) xiy) dy. 



o "o 



Detta är en integralekvation för bestämningen af ^{x). Kärnan lc[x, y) är af 

 samma storleksordning som 8f{x, y). Vid lösningen af (8) kunna vi därför be- 

 gagna metoden med successiva approximationer och negligera termer af högre ord- 

 ning än den första. Vi få då 



1 1 11 



(t>(x) = x(a?) + X / g[x, y) x{y) dy — lj Jc{x, y) i[y) dy — Vf k{x, r) dr f g{r, y) x{y) dy. 

 o o 0 0 



Jämföra vi denna formel med ekvationen (6), se vi, att tillskottet till g{x, y) är 



1 



S g{x, y) = — Hx, «/) — X I Jc(x, r) g{r, y) dr 



o 



eller om vi införa uttrycket för k{x, y): 



1 1 



(9) ng{x, y) = ~ Sj(x, y) - 1 [ g{x, t) 8f{t, y) dt - X f 8f{x, t) g[t, y) dt - 



o o 

 1 



— 1'fgix, t) dt f 8 /[t, r)g{r, y)dr. 

 o o 



Variationen af den lösande kärnan g är sålunda uttryckt genom S / och g. 

 Ur (9) är det lätt att härleda variationen af integralekvationens determinant 

 ©xy. Enligt Fredholm är nämligen 



1 



(10) ^ log ®x/ = — j 9[x, X ; X) dx, 



o 



och alltså 



1 



(11) 8^\og<3)-^f=-^Uog^^^f=- \^ng{x, x)dx = 



o 



1 11 111 



— j 8f{x, x) dx + 2X j dx j dt g{x, t; X) 8 J{t, x) + 'k'^ jdt j dr d f{t, r) j g{r, x ; X) g[x, t; X) dx. 



0 0 0 0 



Nu är emellertid, för tillräckligt små värden på X 

 1 11 



g{x, y;'k) = —f{x, «/)+X jf{x, x^)f{x^. y) dx^ — X^J dx^ j dxj{x, x^)f{x^,x^)f{x^, ?/)+.. 



o 0 0 



och alltså 



