Liösningen '£{x) tili en integralekvation 



b 



(A) ^{x) + X y" f(x, y) fiy) dy = x(^) 



a 



beror af värdet på konstanterna a, h och X samt af funktionerna f{x, y) och y{x). 

 Vår uppgift skall bli att undersöka, hur '^[x) varierar, då uågon af dessa kvanti- 

 teter erhåller ett oändligt litet tillskott. I stället för att undersöka variationen af 

 sjäifva lösningen f{x) bestämma vi variationen af den lösande kärnan g{x, y), med 

 hvars tillhjälp f[x) enkelt definieras. Dessutom undersöka vi äfven variationen af 

 andra kvantiteter, som äro af betydelse för integralekvationens teori, i främsta rum- 

 met fundamentalvärdena. 



Hvad kvantiteterna a, h och X angår, så är lösningen till (A) funktion af dem 

 i vanlig mening, och det antydda problemet löses därför helt enkelt med differen- 

 tialkalkylens hjälp *). Vi befatta oss ej med detta elementära problem. 



Lösningens beroende af -/[x] är af så enkel natur, att en undersökning af den 

 däraf härrörande variationen ej är nödvändig. 



Det återstår att undersöka det fall, att kärnan f[x, y) får ett visst tillskott 

 ^f(x, y). 



Jag undersöker alltså i afdelning I den mot ett dylikt tillskott svarande varia- 

 tionen i den lösande kärnan g[x, y). I samband härmed erhålles ett uttryck för 

 variationen af ekvationens determinant, som öfverensstämmer med det af Feedholm 

 på annan väg härledda. 



*) Annorlunda blir förhållandet, om man har att göra med en integralekvation i flere va- 

 riabler. Ha vi t. ex. ekvationen i två variabler 



(B) (p(as, «/) + ^ //"/(aJ, «/, i f\) <P(^. -n) <1'-'\ = X(*', Vl 



så motsvaras integrationsgränserna a och h i (A) af en viss sluten kurva i 4 -^j-planet, som be- 

 gränsar det område, öfver hvilket dubbelintegralen i (Bj skall tagas. Att förändra integrations- 

 gränserna är då liktydigt med att deformera denna kurva. För undersökning af den motsvarande 

 variationen i <p(a;, y) är då differentialkalkylen ej tillräcklig. Emellertid kan man genom en lämplig 

 variabel förändring bringa den ursprungliga och den varierade ekvationen att ha samma integra- 

 tionsområde; då varierar i stället ekvationens kärna /(o;, ij, %, f]). Vi ha sålunda reducerat pro- 

 blemet till det i det följande behandlade fallet. 



