INTRODUCTION. 



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es premiers résultats importants sur l'intégration de l'équation 

 (1) \- a h 0 \- cz = 0, 



où les coefficients a, 6, c sont des fonctions de x et de y, sont dus à Euler. 

 Euler ^) a montré que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (1) 

 admette une intégrale intermédiaire du premier ordre est que les coefficients 

 a, h, c satisfassent à une des rélations 



(2) ^ 4- a& - c = 0, (3) ^ + a?) — c = 0. 



%x dy 



Si \- ah — c == 0, l'équation (1) peut se mettre sous la forme 



(è+;)(|+-)=o 



et l'équation admet l'intégrale e /"'^^X, X étant une fonction arbitraire de x; de 

 même si ^ — \- ah — c = 0, l'équation (1) peut se mettre sous la forme 



et l'équation admet l'intégrale é'^^^^^'Y, Y étant une fonction arbitraire de y. Dans 

 les deux cas considérés l'intégration de l'équation (1) se ramène à l'intégration 

 successive de deux équations différentielles linéaires du premier ordre, intégration 

 qui n'exige que des quadratures. De plus, Euler nous a donné des exemples 

 d'équations du type (1) dont on peut trouver sous forme explicite une intégrale 

 dépendant d'une fonction arbitraire, sans qu'il existe d'intégrale intermédiaire du 

 premier ordre; les intégrales explicites en question sont de la forme 



(4) SX^"^ ^ +•... + a^.i^' + 

 ou de la forme 



(5) ßo^^" + h Y'"^' +•..• + ß,._x Y' + ß,T, 



Euler Institutiones Calculi Integralis, T. III, Pars prima, Sectio secunda, Cap II. 

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