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Louise Petrén 



a^^ , ßp, , .■.ß,._j, ß,. étant des fonctions déterminées de x 



et de «/, X^''' et Y^*'' les dérivées d'ordre * de X et de F respectivement, m et r 

 des nombres déterminés. Euler est le premier qui a donné des intégrales du type 

 considéré, et dans les derniers temps on les a nommées d'après lui: des intégrales 

 de la forme d'Euler ^). 



Dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences de Paris 1773, Laplace 

 donna une méthode pour reconnaître si l'équation (1) admet une intégrale de la 

 forme (4) ou (5) ; si l'équation admet une integrale de la forme (4) ou (5), ou 

 obtient cette intégrale par la méthode de Laplace, et l'intégration de l'équation (1) 

 peut être ramenée à l'intégration de deux équations différentielles linéaires du premier 

 ordre. La méthode de Laplace consiste à ramener, par l'application répétée de 

 l'une ou de l'autre de deux transformations, l'intégration de l'équation (1) à l'inté- 

 gration d'une équation de même type qui admet une intégrale intermédiaire du 

 premier ordre et, par conséquent, est immédiatement intégrable. Les deux trans- 

 formations de Laplace sont 



(6) -<=| + -. P) = 



En appliquant la transformation (6), l'équation (1) peut s'écrire 



(8) — -\- hs, = hz , h = — -1- ah — c. 

 ^ ^ dx ^ dx 



Si ^4^0, l'élimination de z entre les équations (6) et (8) conduit à l'équation 



(9) a,— ' + &.^ + c,^, = 0, 

 ^ dxdy ^ dx ^ ^ dp ^ ^ 



V T 8 log h 1 7 da . "èh , a log h 

 où i on a a, = a , b, = b, c, — c o . 



^ dtj ^ dx ' dy dy 



Il résulte des équations (6) et (8) que si l'une des équations (1) et (9) admet une 

 intégrale de la forme d'Euler, il en est de même de l'autre équation ; les intégrales 

 des deux équations (1) et (9) se correspondent une à une, de toute intégrale de 

 l'une des équations on obtient sans intégration une solution de l'autre équation. 

 Si l'équation (1) admet l'intégrale 



^ = «oX*"^ + a^X^™-'^ + . . . + o,n - iX + a,„X, 

 l'équation (9) admet une intégrale de même type, laquelle renferme les dérivées de 



X d'ordre m — 1 au plus parce que + ««0 = 0. 11 en résulte que si l'équation 



(1) admet une intégrale de la forme (4), on est conduit, par l'application de la 

 transformation (6) m fois au plus, à une équation qui est de même type que 

 l'équation (1) et qui admet une intégrale de la forme aX (a étant une fonction 



') Le Roux est le premier qui a donné le nom d'intégrale de la forme d'Euler aux inté- 

 grales qui s'expriment linéairement à l'aide d'une fonction arbitraire d'une variable caractéristique 

 et des dérivées de cette fonction en nombre déterminé. Journal de Mathématiques pures et appli- 

 quées, 5'*-°^ série, T. IV,1898, page 401. 



^) Oeuvres complètes de Laplace, Tome IX, pages 5 — 68. 



