Extention de la méthode de Laplace 



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déterminée de x et de y) et dont ou obtient l'intégrale générale par l'intégration 

 successive de deux équations différentielles linéaires du premier ordre. Si l'équa- 

 tion (1) admet une intégrale de la forme (5), on peut de la même manière, par 

 l'application de la transformation (7) r fois au plus, ramener l'intégration de l'équa- 

 tion (1) à l'intégration de deux équations différentielles linéaires du premier ordre. 

 Mais si l'équation (1) n'admet pas une solution de la forme (4) ou (5), la méthode 

 de Laplace ne réussit pas. 



L'équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre 



(10) Ap^ + B^+C^—^+D^- + E^-^ + Fe = 0, 



dx^ dxd!/ dif dx ^ dy 



où A, B, (7, D, E, F sont des fonctions de x et de y, peut, si l'équation admet 

 deux systèmes de caractéristiques distincts, être ramenée à une équation du type 

 (1), en effectuant un changement de variables indépendantes. Les caractéristiques 

 de l'équation (10) sont 



fix, y) = const., où a(^Y + 5^-^ + C l^Y = 0; 



on dit aussi que f{x, y) est une variable caractéristique ; la condition nécessaire et 

 suffisante pour que les deux systèmes de caractéristiques ne coïncident pas, est 

 — 4J.C:^0. Si B^ — 4J.(7=0, on peut, en faisant un changement de variables 

 indépendantes, ramener l'équation (10) à la forme 



— 5 A- a \- b \- cz = \j 



dx^ dx dy 



et pour que l'équation (10) admette une intégrale de la forme d'Euler, on doit avoir 

 b == 0. Mais pour reconnaître si l'équation (10) est iutégrable par la méthode de 

 Laplace, il n'est pas nécessaire de faire un changement de variables indépendantes. 

 Legendee ^) a donné une méthode, analogue à celle de Laplace, qu'on peut appliquer 

 directement à l'équation (10). Pour que l'équation (10) soit intégrable par la méthode 

 de Laplace (Legendre), il faut et il suffit que l'équation admette une intégrale de 

 la forme d'Euler. L'avantage du procédé de Legendre est qu'il permet de recon- 

 naître si l'équation est intégrable sans effectuer la détermination des caractéristiques. 

 Si l'équation (10) admet une intégrale de la forme d'Euler, on peut, après avoir 

 déterminé les caractéristiques, ramener l'intégration de l'équation à des quadratures ; 

 on obtient pour l'intégrale générale une expression dans laquelle une fonction arbi- 

 traire figure sous des signes de quadrature qu'il est impossible de faire disparaître, 

 si l'équation n'admet pas deux intégrales de la forme d'Euler. 



Imschenetsky ^) a depuis présenté le procédé de Legendre sous une forme très 



^) Histoire de l'Académie des Sciences de Paris, 1787 : Mémoire sur l'intégration de quelques 

 équations aux différences partielles, § IV, pages 319—323. 



^) Grunert's Archiv der Mathematik und Physik, Bd. 54, 1872; Intégration des équations 

 aux dérivées partielles du second ordre d'une fonction de deux variables, §. 11. Traduit du russe: 

 Mémoire de Kasan 1868. 



