4 Louise Petrén 



simple. — Imschenetsky ^) a aussi donné une extension de la méthode de Laplace 

 à l'équation 



(11) Gs^Hp^K = 0, 



G, H, K étant des fonctions de q, e, x, y; la désignation = s, — = p, 



— = q étant employée. Imschenetsky applique à l'équation (11) la transformation 



(12) = F{q, e, X, yl 



dF dF 



où F{q, z, X, y) satisfait à l'équation 0 — = H — ^. L'équation (11) peut se mettre 



dz dq 



sous la forme 



dF 



2i = F (q, z, X, y\ = — — |j, Z, 



ex 



8F ZF^ 



la désignation (JL = = , pj = étant employée. Ecrivons 



"èF 



— — ^K=F,(q, z, X, y). 



dFdF, dFdF, ^^ 

 d&- dq dq 



est la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (11) admette une inté- 

 grale intermédiaire du premier ordre dépendant d'une fonction arbitraire de y. Si 



d_FdB\ dF dF^ _ ^ 

 "ès dq dq dz ' 



on obtient l'intégrale générale de l'équation (11) par l'intégration successive de 

 deux équations différentielles du premier ordre. Si 



dFdJ\ dF dF, ^ 

 dz dq 82 8^ 



les équations 



^1 = F{q, g, X, y), 2h = V) 

 peuvent être résolues par rapport à et à g, et l'on obtient les équations 



l'élimination de z entre ces deux équations conduit à l'équation 



la désignation ,9i = -, Qi = — ' étant employée. Les deux équations (11) et (13) 



dxdy dy 



peuvent être intégrées en même temps ; de toute solution de l'une des équations on obtient 



') Même ouvrage, §. 9. 



