Extention de la méthode de Laplace 



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sans intégration une solution de l'autre équation. Comme l'équation (13) est linéaire par 

 rapport à et à (/j, il existe toujours une transformation d'Imschenetsky de la forme 

 u = fiPi-, X, y) qui peut être appliquée à l'équation (13), mais comme cette transforma- 

 tion conduit de nouveau à l'équation proposée, elle est sans intérêt. Pour pouvoir appli- 

 quer la transformation (12) d'Imschenetsky à l'équation (13), il faut que l'équation (13) 

 soit linéaire par rapport à^^età^^. Ce n'est donc que dans des cas exceptionels qu'on 

 peut appliquer la transformation (12) d'Imschenetsky plusieurs fois à une équation 



(11) . Supposons que l'équation (13) soit linéaire par rapport à 5^ et à Il se 

 peut que l'équation (13) admette une intégrale intermédiaire du premier ordre dé- 

 pendant d'une fonction arbitraire de «/; sinon on peut appliquer la transformation (12) 

 d'Imschenetsky à l'équation (13). On peut continuer de cette manière, jusqu'à ce 

 qu'on obtienne éventuellement une équation qui admet une intégrale intermédiaire 

 du premier ordre et dont on peut ramener l'intégration à l'intégration de deux 

 équations différentielles du premier ordre, ou qu'on obtienne éventuellement une 

 équation à laquelle on ne peut plus appliquer la transformation (12) d'Imschenetsky. 

 Dans le dernier cas, la méthode d'Imschenetsky ne réussit pas. Ainsi la méthode 

 d'Imschenetsky consiste à ramener — par l'application répétée de la transformation 



(12) — une équation (11) qui n'admet pas d'intégrale intermédiaire du premier ordre dé- 

 pendant d'une fontion arbitaire dey h une équation de même type qui admet une intégrale 

 intermédiaire de cette espèce. Lorsque l'équation (11) est de la forme (1), les trans- 

 formations d'Imschenetsky sont évidemment identiques à celles de Laplace ^) ^). — 



^) Aussi d'autres équations du type (11) ont été intégrées, antérieurement à Imschenetsky, 

 en appliquant des transformations en effet identiques à celles d'Imschenetsky. Je cite par exemple 



l'équation =6*^ k étant une constante, intégrée par J. Liouville (Voir: Gouksat, Leçons sur 



oxoy 



l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre, T. I, page 97). 



^) Il me semble que les transformations d'Imschenetsky méritent d'être éxaminées de plus 

 près. En effet, si l'équation (11) peut être ramenée par m transformations (12) à une équation qui 

 admet une intégrale intermédiaire du premier ordre, l'on obtient pour l'équation (11) une intégrale 

 de la forme a = tp (£c, y, X, X' , . . . X*™'), où <f est une fonction déterminée des arguments, et il 

 existe une équation de la forme 



qui forme un système en involution avec l'équation (11). Et si l'équation (11) admet une solution 

 de la forme z — f{x, y, X, X', .... X<""), on obtient, en appliquant la transformation (12) m fois au 

 plus, une équation qui admet une intégrale intermédiaire du premier ordre dépendant d'une fonc- 

 tion arbitraire de y. Il en suit que, par la méthode d'Imschenetsky, l'intégration de l'équation (11) 

 peut être ramenée à l'intégration de deux équations différentielles du premier ordre, pourvu que 

 l'équation (11) admette une intégrale de la forme z = f{x, y, X, X, . . . X'™'). Si l'équation (11) 

 n'admet pas d'intégrale de la forme z = <f{x, y, X, X' , . . . X*""), la méthode ne réussit pas. Il serait 

 intéressant d'examiner quelle forme l'équation (11) prend pour admettre une solution de la forme 

 z — iri^x, y, X, X' , . .. X'™'), autrement dit à quelles conditions G, H, K doivent satisfaire pour que 

 l'équation (11) puisse être ramenée par m transformations (12) à une équation qui admet une 

 intégrale intermédiaire du premier ordre. — Les transformations d'Imschenetsky sont très peu men- 

 tionnées dans la littérature. Gouesat (Leçons, T. II, page 263) en parle, il est vrai, mais sans 

 motiver leur emploi et sans indiquer leur rapport à la méthode de Laplace. Foesyth (Theory of 



