6 



Louise Petrén 



Teixeiba ^) a depuis essayé d'étendre la méthode d'Imschenetsky à l'équation 



^ 8^ C'^, + Z> = 0, 



dx^ dxdy di/ 



OÙ A, B, C, D sont des fonctions de — , — , z, x, y. 



dx dy 



MouTA-RD a traité un problème qui a beaucoup de rapport à la méthode de 

 Laplace. Dans un Mémoire, présenté à l'Académie des Sciences de Paris 1870 

 Moutard a examiné quelles sont les équations de la forme 



-bxdy •'X'dx' dy' ^' ^' ^, 

 pour lesquelles l'intégrale générale est de la forme 



^ =^:F{x, y, X, X\... X'''\Y, Y, ... 



où F est une fonction déterminée des arguments. Dans ce Mémoire Moutard a 

 montré que les seules équations de la forme 



d^s j,(d^ d2 \ 



dxdy \dx dij 



susceptibles d'admettre une intégrale générale de cette espèce et qui ne sont réduc- 

 tibles par un changement de variables ni à l'équation (1), ni à l'équation de J. Liou- 



ville — — == e^, sont toutes — à l'exception de deux cas très simples — réductibles 

 dxdy ^ ^ 



à la forme 



dxdy dx\ I dy\ 



où A et B sont des fonctions de x et de y, assujetties elles-mêmes à vérifier cer- 

 taines conditions (Le théorème de Moutard). L'intégration de la dernière équation 

 est ramenée à dépendre uniquement de l'intégration de l'équation 



d^e l dAdz , . D 

 dxdy A dx du 



laquelle est de la forme (1). Ainsi le problème est réduit à l'équation (1). Ensuite 

 Moutard a montré comment on peut construire l'équation la plus générale de la 



Differential Equations, Part IV) ne les mentionne pas du tout. J. Hagen (Synopsis der hoeheren 

 Mathematik, Bd III, page 425) écrit quant à la transformation d'Imschenetsky appliquée à l'équation 

 (11): »Seine Substitution erfordert eine Quadratur. In den neuen Veränderlichen nimmt die Gleich- 

 ung wieder die Gestalt der ursprünglichen Gleichung an. Die Substitution kann daher wiederholt 

 werden, bis man auf eine Gleichung stösst, welche die Integrationsbedingen erfüllt». Tous les 

 points sont faux. 



') Comptes Eendus, T. XCIII, 1881, page 702. Bulletin de l'Académie de Belgique, 3'*°"= série, 

 T. III 1882, pages 486—498. 



Voir Comptes Rendus, ï. LXX, 1870, pages 1068—1070. 



