Extension de la méthode de Laplace 7 



forme (1) pour laquelle l'intégrale générale est de l'espèce considérée. Mais le 

 Mémoire original de Moutard a disparu en 1871, et ce n'est que l'Introduction^), 

 dans laquelle le contenu est indiqué et où les résultats nommés ci-dessus sont 

 exposés (quoique non démontrés ^)), et la troisième Partie ^) relative à léquation 

 spéciale 



+ c^ = 0 



dxdy 



qui ont été publiées. 



Plus tard Daebotjx a repris l'étude de la méthode de Laplace appliquée à 

 l'équation (1). Dans ses études très belles et très complètes, Dakbodx a notable- 

 ment perfectionné et simplifié la méthode. Aujourd'hui la méthode de Laplace 

 est ordinairement reproduite d'après Dabboux ^). C'est aussi des notations de 

 Darboux que je me suis servi. 



Daeboux a montré la propriété d'invariants des fonctions 



h — \- ao — c, le = \- ab — c. 



Les fonctions h et Je ne changent pas, si l'on effectue la substitution s = Xb, X étant 

 une fonction quelconque de x et de y. Et si l'on fait le changement de variables 

 X = (f{x), y = les fonctions ä et Ä; ne subissent pas d'autre changement qu'une 

 multiplication par le facteur En appliquant les transformations de Laplace 



à l'équation (1), les invariants des équations transformées ne dépendent que des 

 invariants h et h. Les invariants et de l'équation (9) sont 



7 o7 7 9^ log A 

 ^ dxdy ^ 



et les invariants h_j et k_i de l'équation en ^-.i sont 



j, ^ = 2k-h-^-^^, h_,=^.k. 



dxdi/ 



Ainsi pour recomiaître si l'équation (1) est intégrable par la méthode de Laplace, 

 il n'est pas nécessaire de former les deux séries d'équations qu'on obtient par 

 l'application répétée des transformations de Laplace à l'équation (1); on peut au 

 lieu de cela calculer de proche en proche les invariants des équations 



') Comptes Rendus, T. LXX, 1870, pages 834—838. Imprimée depuis dans le Journal de 

 l'Ecole Polytechnique, Cahier 56, 188(5, pages 1—5. 



^) Le théorème de Moutard a été depuis démontré par Cosserat dans: Daeboux, Leçons 

 sur la théorie générale des surfaces, Partie IV, pages 405—422. Voir aussi : Foksyth, Theory of 

 Differential Equations, Part IV, Ch. XV. — Le théorème de Moutard peut aussi être démontré 

 à l'aide des transformations d'Imschenetsky. 



Journal de l'Ecole Polytechnique, Cahier 45, 1878, pages 1—11. 



*) Daeboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces. Partie II. Livre IV. Ch. II— IX 

 pages 23—218. 



^) Voir: Gouesat, Leçons. T. II, pages 1—39. 



Forsyth, Theory of Differential Equations. Part IV. Vol. VI. pages 39—158. 



