8 



Louise Petrén 



/îj, /lg, /lg, . . . /c_2i ^— Sl • • • 



en partant des invariants h et Je et eu employant les formules de récurrence: 



f L I j. o 7 d^^og.hi 



I Jci + i=hi 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (1) soit intégrable par la 

 méthode de Laplace est que, dans ces séries d'invariants, il y ait un invariant qui 

 est nul. L'équation (1) admet une intégrale de la forme (4), si ^,„=0, et une inté- 

 grale de la forme (5), si h^,- = 0. 



Daeboux a fait avec succès des études approfondies sur les équations (1) dont 

 la méthode de Laplace fournit l'intégrale générale. Il a donné la forme générale 

 des équations (1) qui admettent une intégrale de la forme d'Euler et des équations 

 (1) qui admettent une intégrale du type (4) et une intégrale du type (5). Ce dernier 

 problème avait déjà été résolu par Moutard, mais, comme je l'ai dit, son manu- 

 scrit ayant été détruit, ou ne sait comment il a résolu le problème. 



Ensuite Daeboux a étudié la relation entre les intégrales de l'équation (1) et 

 de l'équation adjointe 



(14) ^ ± lau) — ^ (bu) eu = 0 



et montré que si l'intégrale générale de l'une des équations (1) et (14) s'obtient par 

 la méthode de Laplace, ou peut de cette intégrale directement déduire l'intégrale 

 générale de l'autre équation. — R. Liouville ^) avait déjà indiqué la propriété re- 

 marquable des deux equations (1) et (14), à savoir qu'elles ont les mêmes invariants 

 mais en ordre inverse, et que les deux équations peuvent être intégrées en même 

 temps par la méthode de Laplace ; si l'une des équations est ramenée, en appliquant 

 la transformation (6) m fois, à une équation qui admet une intégrale de la forme 

 olX, l'autre équation est ramenée, eu appliquant la transformation (7) m fois, à une 

 équation qui admet une intégrale de la forme ßF. — Par là j'ai seulement cité 

 quelques-uns des résultats les plus importants qu'a obtenus Darboux et qui nous 

 intéressent ici par leur rapport à la méthode de Laplace. 



La méthode de Laplace a été très simplifiée par l'emploi de la notation des 

 invariants, mais aussi le calcul des invariants h^, h^, h^, . . . Jc_i, ^_2, ^-s. • • • pe^t 

 être très compliqué. Pour cela on a essayé de trouver des critériums plus simples 

 pour constater que l'équation (1) admet une intégrale de la forme d'Euler. Le 

 critérium qui a la plus grande importance est celui de Goursat. 



GouRSAT ^) a montré que si l'équation (1) admet m -\- 2 intégrales entre les- 

 quelles il n'existe aucune relation linéaire et homogène à coefficients constants, mais 



^) Journal de l'Ecole Polytechnique, Cahier 56, 1886: Formes intégrables des équations liné- 

 aires du second ordre, IV, pages 49 — 50. 



American Journal of Mathematics, Vol. XVIII, 1896 : Sur les équations linéaires et la 

 méthode de Laplace, pages 347 — 364. De même: Goüksat, Leçons. T. II, Chap. V, pages 21 — 31. 



