Extension de la méthode de Laplace 



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une relation linéaire et homogène dont les coefficients sont des fonctions de x, 

 l'équation (1) admet une solution de la forme 



Si Ton compare la méthode de Laplace (Legendre) pour intégrer l'équation 

 (10) à la méthode générale de Darboux ^) pour intégrer l'équation 



(15) 



= 0, 



' dx'èy ' dif ' "èx dy' 



appliquée à l'équation (10), Pou trouve que les deux méthodes réussissent en même 

 temps, c'est-à-dire elles donnent l'intégrale générale des équations (10) qui admettent 

 une intégrale de la forme d'Euler ^). En efîet, la méthode de Laplace (Legendre) 

 et celle de Darboux, appliquée à l'équation (10), ont toutes deux pour but de trouver 

 une intégrale intermédiaire dépendant d'une fonction arbitraire, c'est-à-dire de former 

 une équation contenant une fonction arbitraire et telle que toutes les intégrales 

 de l'équation (10) soient aussi des intégrales de cette équation. En d'autres termes, 

 les deux méthodes s'appliquent avec succès à l'équation (10), s'il existe une équa- 

 tioji avec une fonction arbitraire qui forme un système en involution avec 

 l'équation proposée pour toutes les formes possibles de la fonction arbitraire ^). 

 La méthode de Laplace mène plus directenjent au but. Comme la méthode de 

 Darboux douue toutes les intégrales explicites ') dépendant d'une fonction arbitraire, 

 chaque intégrale explicite dépendant d'une fonction arbitraire de l'équation (10) 

 est une intégrale de la forme d'Euler. 



Des méthodes qui servent à reconnaître si l'équation (10) est intégrable par 

 la méthode de Laplace (Legendre) sont d'importance non seulement pour l'équation 

 (10) et pour les équations dont l'intégration peut être ramenée à l'intégration d'une 

 équation du type (10), mais aussi pour l'équation générale aux dérivées partielles 

 du second ordre, en tant qu'il s'agit de reconnaître si la méthode de Darboux 

 fournit l'intégrale générale de l'équation (15). Darboux a montré que si sa mé- 

 thode fournit l'intégrale générale de l'équation (15), l'équation auxiliaire 



'j Pour la première fois donnée dans Comptes Rendus, T. LXX, 1870, pages 675 — 678, 

 746-749; Annales de l'École normale, T. VII, 1870, pages. 163— 173. 

 Voir : Goursat, Leçons. T. II, Chap. VII. 



Forsyth, Theory of Differential Equations, Part. IV, Ch. XVIII. 

 ^) Goursat, Leçons. T. II, Chap. VII, pages 174—182. 



Une intégrale explicite dépendant d'une fonction arbitraire est de la forme 



'^ = ^:(a,/(a),/(a), •••/S, ß) - 

 2/ = -P'. (a, /(«), /'(a), • • - /(a), ß), 



[ ^ = ^s(a,/(«), fia), ■ ■ -/{a), ß) , 



où / désigne la fonction arbitraire, c'est-à-dire x, y, z s'expriment par des fonctions déterminées 

 de deux variables auxiliaires a, ß, d'une fonction arbitraire de a et de ses dérivées en nombre fini. 



*) Darboux, Leçons, Partie IV, Note XL De même: Goursat, Leçons. T. II, Note I, pa- 

 ges 334—336. 



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