10 Louise Petrén 



dF ^^z' , %F gV , "è^'z' , "bF %z' , "èz' ^ dF , 



7, 5- H 5 3 5- H Z = O, 



_^d-z dx^ g dxdy ^'dz "èy ^ds "èx ^dz 8// ds 



dx^ dxdy dy'^ dx dy 



qui est du type (10), z' étant la variable iudépendaute, est intégrable par la méthode 

 de Laplace (Legendre) 



Il est naturel d'essayer d'étendre la méthode de Laplace et les recherches en 

 relation avec celle-ci faites sur l'équation linéaire du second ordre aux équations 

 linéaires d'un ordre supérieur. Deux essays dans ce sens ont déjà été faits. 



Le Roux ^) a essayé d'étendre la méthode de Laplace à l'équation linéaire 

 d'ordre n: 



n n-i Çii+j^ 



les coefficients Ay étant des fonctions de x et de y. Les caractéristiques de l'équa- 

 tion (16) sont 



fi {x. y) = const., où ^ + iii = 0, (/ = 1, 2, . . . n) 



dx ôy 



Ui{i==l,2, . . . n) étant les n racines de l'équation 



i = 0 



on dit aussi que Ji{x, y) est une variable caractéristique. Par un changement de 



d^^z 



variables indépendantes on peut faire disparaître le terme en — Ainsi on peut, 



dx 



sans diminuer la généralité, supposer J.„o=0. x est alors une variable caractéris- 

 tique et l'équation (16) s'écrit 



16 ï„ h ^'0 - 1 7 + ••■■ + '-£^1 h ^ = 0, 



OÙ (fi = y, Aij — - (^ = 0, 1, . . . p); p <_n — 1. Si l'équation (16') admet une inté- 



./=o 



dy-> 



grale de la forme (4), doit être une intégrale de l'équation œ^a = 0. En partant 

 de la supposition que le caractère essentiel de la transformation de Laplace qui cor- 

 respond à la variable caractéristique x soit qu'elle ramène l'intégrale (4) à une 

 intégrale de même type qui ne contient plus les dérivées de X que jusqu'à 

 l'ordre m — 1 au plus, Le Rotjx considère chaque transformation du type 



De cette façon l'on peut souvent trouver quelle forme une équation doit avoir pour être 



d^m 



intégrable par la méthode de Darboux. Je cite comme exemple l'équation ^^^^ =/(0), examinée 



par Lie [Voir Gouesat, Leçons. T. II, pages 182—186.]; le problème est résolu beaucoup plus facile- 

 ment en comparant l'équation à l'équation auxiliaire. 



^) Bulletin de la Société Mathématique de France, T. 27, 1899, pages 237—262: Extension 

 de la méthode de Laplace aux équations linéaires aux dérivées partielles d'ordre supérieur au second. 



