Extension de la méthode de Laplace 11 



(17) e, = .,|-(^| où f,a, = 0, 



comme une transformation de Laplace à l'équation (16'), les transformations 

 (11) étant les plus simples qui puissent avoir le caractère essentiel en question. Le 

 Roux considère aussi la transformation complètement déterminée 



(18) B = fp2 



comme une transformation de Laplace coriespondant à la variable caractéristique a?, 

 parce que la transformation (18) est composée de transformations du type (17). — 

 Lorsque Apj = 0 (; = 1, 2, . . . . w — p), la transformation (18) est réduite à 6 = ApoZ, et 

 l'équation (16') n'admet pas d'intégrale du type (4). — Le Roux forme de la même 

 manière les transformations de Laplace qui correspondent aux autres systèmes de 

 caractéristiques. Le Roux a trouvé que l'application d'une transformation (17) à 

 l'équation (16') conduit ordinairement, non à une équation de même type, mais à 

 un système de plusieurs équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur à w ; et 

 par l'application répétée de la transformation en question on serait de règle con- 

 duit à un système d'équations très coii.pliqué. 



PisATi ■*■) a plus tard montré que, parmi les équations (16'), ce n'est en général 

 que l'équation 



(19) 9i 1- (p,,z = 0, où cpi = S Au — 9n = S ^oi — 



qui est ramenée par la transformation (17) à une équation de même type et de 

 même ordre au plus. De plus, Pisati a prouvé que si l'équation (19) admet m -f- 1 

 intégrales entre lesquelles il n'existe aucune relation linéaire et homogène à coeffi- 

 cients constants, mais une relation linéaire et homogène dont les coefficients sont 

 des fonctions de x, on obtient, en appliquant la transformation 



e =-. 



m — 1 fois (doit être : m — 1 fois au plus) de suite, une équation qui admet une 

 intégrale de la forme aX. (Pisati a exclu le cas où „_i = 0, mais la thèse est 

 valable pour ce cas aussi.) Pour l'équation 



Pisati a défini les fonctions des coefficients qui ne changent pas avec la sub- 

 stitution ^ = Xi ; Pisati a aussi donné les conditions que ces invariants doivent 

 vérifier pour que l'équation admette une ou deux intégrales de la forme aX 



C'est l'équation (19) que j'ai étudiée de plus près — d'ailleurs indépendamment 



^) Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, ï. 20, 1905, pages 344—374: Sulla esten- 

 sione del metodo di Laplace alle equazioni diiïerenziali lineari di ordine qualunque con due vari- 

 abili indipendenti. 



