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Louise Petj'én 



du mémoire de Pisati, qui ne m'est parvenu qu'en 1908 — et j'ai trouvé que 

 presque tous les résultats obtenus par Dabboux pour l'équation (1) peuvent être 

 étendus à l'équation (19). 



Pour l'équation (19) d'ordre n, il existe, si n_i4=0, deux systèmes de carac- 

 téristiques distincts: 



X = const. 



est un système de caractéristiques multiple d'ordre n — 1 et , 



df df 

 f{x, y) = const., où A^^ „_ i ^f— )- ^o, n — = 0, 



dx èy- 



est un système de caractéristiques simple; si ^i, „ = 0, 



X = const. 



est un système de caractéristiques multiple d'ordre n. Dans mes recherches j'ai traité 

 à part le cas où tous les systèmes de caractéristiques coïncident et celui où w — 1 

 seuls coïncident. 



S'il y a deux systèmes de caractéristiques distincts, nous pouvons en effectuant 

 un changement de variables indépendantes choisir les nouvelles variables indépen- 

 dantes de la manière que y sera une vari.ible caractéristique simple et x une vari- 

 able caractéristique d'ordre n — 1, et l'équation (19) pourra s'écrire: 



(20) i=o\ 'èx'èif^ dtfj 



l^q=--l, g+l=w, 



OÙ Ai, Bi sont des fonctions de x et de y. L'équation (20) a été l'objet de recher- 

 ches dans les quatre premiers chapitres. 



Dans le chapitre premier, je donne un exposé de la méthode de Laplace éten- 

 due à l'équation (20). La méthode de Laplace apphquée à l'équation (20) doit être 

 une méthode pour reconnaître si l'équation (20) admet une intégrale de la forme 

 d'Euler, et dans ce cas une méthode qui permet de déterminer cette intégrale ou 

 ces intégrales. Lorsque l'équation (20) admet une intégrale de la forme d'Euler, 

 celle-ci doit être ou du type (4) ou du type (5) ; l'équation ne peut admettre que 

 intégrales distinctes du type (4) et seulement une intégrale du type (5). D'après 

 Le Roux, il y a deux transformations de Laplace complètement déterminées : la trans- 

 formation 



(21) • ^, = ï^i^. 



qui correspond au système de caractéristiques multiple x = const., et la transformation 



(21') e_8£ + i?^^, 



qui correspond au système de caractéristiques simple y = const. — Si l'on 

 applique la transformation (21) à l'équation (20), on obtient des résultats 

 qui sont tout à fait analogues à ceux obtenus pour la transformation (6) 



