Extension de la méthode de Laplace 



13 



appliquée à l'équatiou (1), et on a le droit de considérer la transformation (21) 

 comme une transformation de Laplace à l'équation (20). Si l'équation (20) admet 

 une intégrale de la forme (4), on obtient, en appliquant la transformation (21) m 

 fois au plus, une équation de même type et de même ordre qui admet une inté- 

 grale de la forme c/.X, et l'ordre de l'équation transformée peut être immédiatement 

 diminué d'une unité. Chaque intégrale du type (4) peut être obtenue en appliquant 

 la transformation (21) un nombre suffisant de fois; pour obtenir les intégrales du 

 type (4), il ne faut que l'intégration d'équations différentielles linéaires du premier 

 ordre (en cas exceptionnel d'ordre supérieur). Lorsque l'équation. (20) admet s inté- 

 grales distinctes du type (4), l'intégration de l'équation (20) peut être ramenée, par 

 l'application répétée de la transformation (21), à l'intégration d'une équation du type 

 (20) et d'ordre n — s et à l'intégration d'équations différentielles linéaires. — Si l'on 

 applique la transformation (21') h l'équation (20), 6 est de règle déterminée par 

 n — 1 équations linéaires aux dérivées partielles d'ordre 2(n — 1), et une application 

 répétée de la transformation en question amènerait de règle un système compliqué 

 d'équations. Mais j'ai trouvé une transformation linéaire 



où Ti et Ui sont des fonctions complètement déterminées des coefficients de l'équa- 

 tion (20), laquelle est analogue à la transformation (7) de Laplace. En appliquant 

 la transformation (22) à l'équation (20), on est conduit à une équation "de même 

 type et de même ordre, pourvu que l'équation (20) ne soit pas de la forme 



Y étant une fonction de x et de y. Et si l'équation (20) est de cette dernière forme, 

 l'ordre de l'équation peut être immédiatement diminué d'une unité. Lorsque 

 l'équation (20) admet une intégrale du type (5), on obtient celle-ci à l'aide 

 de la transformation (22) et par l'intégration d'équations différentielles liné- 

 aires de règle du premier ordre. La transformation (22) est inverse à la 

 transformation (21), de même que la transformation (7) est inverse à la trans- 

 formation (6). C'est la transformation (22) qui doit être considérée comme la trans- 

 formation de Laplace complètement déterminée correspondant au système de carac- 

 téristiques y — const. — Je désigne l'équation (20) par la lettre (E). Par l'applica- 

 tion répétée de la transformation (21) à l'équation (20), on obtient une série d'équa- 

 tions de même type et d'ordre n au plus; ces équations sont désignées par {E.^), 

 {E^), [Eg), .... Et par l'application répétée de la transformation (22) à l'équation 

 (20), on obtient une série d'équations de même type et d'ordre «au plus; ces équa- 

 tions sont désignées par (^_i), [E^o), (-E'-s), • ■ • • — En examinant le rapport 

 qu'il y a entre l'équation (20) et l'équation adjointe 



(22) 



