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Louise Petrén 



q i + l 



(23) 



dxdf dy 



= 0, 



j'ai obtenu des resultats qui renferment ceux obtenus pour les équations (1) et (14). 

 La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) admette une intégrale 

 du type (5) est que l'équation adjointe (23) admette g intégrales distinctes du type 



(4) ; si l'équation (23) admet q intégrales distinctes 



ao,:X/'"'-^ + «hX/'"'-'^ + . • . -h i ^'i + / X- = 1, 2, . . . q) 



Xi étant des fonctions arbitraires de x et «o,- , c/j,- 7,„ _ii, c«,„ des fonc- 

 tions déterminées de x et de //, l'équation (20) admet une intégrale de la forme 



ßoF<"^ + Ii, Y^'-'^ H- . . . + ßr-i r + ß,.r, où r = i m,. 



z = 1 



Lorsque l'équation adjointe (23) admet s intégrales distinctes du type (4), l'on peut 

 par l'application répétée de la transformation (22) diminuer l'ordre de l'équation 

 (20) de s unités. Si l'une des équations (20) et (23) admet une intégrale du type 



(5) et que, par conséquent, l'autre équation admette q intégrales distinctes du type 

 (4), l'intégration de l'équation (20) et de l'équation (23) peut être ramenée par la 

 méthode de Laplace à l'intégration d'équations différentielles linéaires. Aussi dans 

 d'autres cas, l'intégration des équations (20) et (23) peut être ramenée par la mé- 

 thode de Laplace à l'intégration d'équations différentielles linéaires; une condition 

 nécessaire (pas suffisante) pour ceci est que l'équation (20) admette s intégrales 

 distinctes du type (4) et que l'équation (23) admette au moins q — s intégrales 

 distinctes du type (4); la condition nécessaire et suffisante est donnée dans la pro- 

 position 12. — Lorsque l'équation (20) admet une intégrale de la forme d'Euler, 

 il existe pour l'équation adjointe (23) une intégrale intermédiaire dépendant d'une 

 fonction arbitraire. La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (20) 

 admette une intégrale de la forme (4) est que l'équation (23) admette une intégrale 

 intermédiaire de la forme 



où les coefficients a^- sont des fonctions àe x et de y; toute intégrale de l'équation 

 (23) est aussi intégrale de cette équation. Et la condition nécessaire et suffisante 

 pour que l'équation (20) admette une intégrale de la forme (5) est que l'équation 

 (23) admette une intégrale intermédiaire de la forme 



où les coefficients 6< sont des fonctions de x et de y. 



Dans le chapitre II, j'ai défini 2q fonctions des coefficients de l'équation (20) 

 qui forment un système complet d'iuvairants. Deux équations qui admettent les 



