Extension de la méthode de Laplace 



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mêmes valeurs des invariants qui forment un système complet peuvent se 

 ramener l'une à l'autre par la substitution z — Xi. J'ai donné les relations que 

 les invariants doivent vérifier pour que l'équation (20) admette s intégrales distinc- 

 tes o.iX.i {% — X,'^, . . . s), de même les relations que les invariants doivent vérifier 

 pour que l'équation adjointe (23) admette s intégrales distinctes a^Xi (i — 1,2, . . .s). 

 Ensuite j'ai donné les relations qu'il y a entre les invariants de l'équation (20) 

 et ceux de l'équation (i'J, quand celle-ci est d'ordre n et quand elle est 

 d'ordre inférieur à n\ par là sont données aussi les relations qu'il y a entre 

 les invariants de l'équation (20) et ceux de l'équation (E-i). Ainsi il n'est pas 

 nécessaire de former les équations (E^), (E^) (E^), . . . et (i?_i), {E^2), -Ë-s), . . . 

 pour reconnaître si l'équation (20) ou l'équation (23) admettent une intégrale de la 

 forme d'Euler. Au lieu de cela, on peut calculer les invariants des équations (Ej), 

 (E^), (E^), . . . (£^_i), {E-2), {E^-i), ... en partant des invariants de l'équation (20), 

 mais cela sera ordinairement très compliqué. — Dans des cas spéciaux, on peut 

 cependant aisément trouver les valeurs des invariants des équations (E^), {E^), . . . 

 {E-i), {E—2), ■ ■ ■ Comme exemple j'ai traité l'équation 



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4=0 



Ui ■. + (bi + caiti) — ■. 



= 0, (a<j = 1 ; hq=0; a, _ 1 = 0 ; c 4^ 0) 



où Ui, bi, c sont des constantes; tous les invariants de cette équation sont des 

 constantes. La condition nécessaire et suffisante pour que cette équation admette 

 s intégrales distinctes du type (4) est que l'équation algébrique 



|] di{mcY = 0, 



1 = 0 



où les coefficients di sont des fonctions complètement déterminées des invariants de 

 l'équation donnée et où m est la quantité inconnue, ait s racines qui sont des nombres 

 entiers positifs (zéro inclusivement). Et la condition nécessaire et suffisante pour que 

 l'équation adjointe admette s intégrales distinctes du type (4) est que cette équation 

 algébrique ait s racines qui sont des nombres entiers négatifs (zéro exclusivement). 

 — Comme j'ai dit (page 11), Pisati a généralisé le critérium de Goursat. J'ai 

 obtenu des résultats un peu plus complets. Si l'équation (20) admet m -f 1 inté- 

 grales Ci [i = 1, 2, . . . w -|- 1) entre lesquelles il existe une relation, et une seule, 

 de la forme 



m 



Cm + l = S fii^yCi, 

 1 = 1 



les m -\- 1 intégrales déterminent une équation de la forme 



les coefficients \i étant des fonctions de x et de y, laquelle forme un système en 

 involution avec l'équation (20). On peut toujours supposer qu'il n'existe pas de 

 relation de la forme 



