1 6 Louise Petrén 



m 



2 ('ifi{x) — Cm + 1, 



Ci [i=\, 2, ... m -t- 1) étant des constantes. Les deux équations 



,•=1 a?/ / = ! 



admettent au moins une solution commune. 8i les deux équations admettent seule- 

 ment une solution commune, l'équation (20) admet une nitégrale de la forme 



et cette intégrale peut être déduite directement des intégrales Ci = 1, 2, . . . m + 1). 

 Si les équations en question admettent s solutions distinctes en commun, l'équa- 

 tion (20) admet s intégrales distinctes du type (4), et ces intégrales sont de la forme 



aoiXf"^-''+ anXf'-'M- . • • •^m,-2.iX-+ am,_i,iXi, (/=!, 2. . . . s) 



s 



où E m-i = m. 



Dans le chapitre III, j'ai examiné les équations (20) qui admettent m intégrales 

 distinctes de la forme d'Euler. L'intégrale générale des équations en question est 

 représentée par la formule 



j A j ... ^ A.^ uX.^ ... A 2 -^q ■ ■ ■ q ^ X ... X 



(24) 2= M 



2 



I (m.i) ^ ; (j/ia) ' ^rrig) I ()■) 



'^l 1 1 1 ■ ■ • "^11 '^1 2 1 2 ■ ■ ■ "^12 X^q X -^^q . . . X\q jl ^ if ^ . . . î/ j 



; Vin^l I 0112) I ' ('■) 



"^21 ^2 1 • ■ • '^2 1 ^^22 '^2 2 • • • ''^S 2 ■^29 '^29 " " ' "^-1 V '2 U '2 ' " V 2 



I (mi) / (m2) , (in.J i ^/n 



iCfti cc/a . . . Xhi Xii2 Xh2 ■■■ Xk2 xi,q Xkq . . . Xkq^ Hh y h ■ ■ ■ y h 



h — r + g + Swj; xA . étant des fonctions déterminées de et Jf 



: 1 



2, ...g 



une l'onction déterminée de x et de y. Liversement, chaque expression de la forme 

 (24), le coefficient de F'" n'étant pas nul, représente l'intégrale générale d'une équa- 

 tion du type (20) et d'ordre n au plus ; la condition nécessaire et suffisante pour 



qu'une expression de la forme (24), le coefficient de Y"' n'étant pas nul, soit l'inté- 

 grale générale d'une équation du type (20) et d'ordre n — s est qu'il existe s 

 — et pas plus de s — relations distinctes de la forme 



ïfi{x)a,i=^0, 

 1 = 1 



«oi étant les coefficients de X/'"*' dans le déterminant (24). Si nous supposons que 

 l'intégrale générale de l'équation (20) soit donnée sous la forme (24), l'on peut en 



déduire directement l'intégrale générale de l'équation {Ei) > 0^ , du moins si 

 l'équation [Ei) est d'ordre n ; aussi l'intégrale générale de l'équation adjointe (23) 

 peut être déduite de l'intégrale (24). 



Enfin dans le chapitre IV, j'ai examiné les équations (20) qui admettent une 

 intégrale du type (5). L'intégrale générale des équations en question est représentée 

 par la formule 



